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广义华罗庚域上的若干问题

苏简兵  
【摘要】: 在这篇论文中,我们讨论了三个方面的内容:第一部分我们给出了四类广义华罗庚域的Bergman核函数的显表达式;第二部分我们得到了第一类超Cartan域与单位超球间的极值与极值映照;第三部分我们给出了四类超Cartan域上全纯函数是Bloch函数的充分条件与必要条件。下面简要叙述本论文的关于这三个方面的结果。 第一部分.Bergman核函数的显式表达 Bergman核函数在(单、多)复变函数理论的发展过程中起着十分重要的作用,Bergman在1921年研究复平面中区域D上的正交展开,其研究结果导出了一个核函数K_D(z,),(z,t)∈D×D。1933年,Bergman又把这一理论推广到了多复变的情形。众所周知,C~n中的任一有界域都存在唯一的Bergman核函数。但是哪些域的Bergman核函数能显式求出来呢?这是一个很自然也很重要的问题。而且在解决一些重要问题时,也依赖于Bergman核函数的显表达式。例如Mostow和Siu在对具有负截曲率的紧致Khler流形的万有覆盖一定双全纯等价于超球这一重要猜想所给出的反例中,域{z∈C~2:|z_1|~2+|z_2|~(14)<1}的Bergman核函数的显表达式起了关键性作用[MoS]。在给陆启铿猜想以反例时,也经常要用到Bergman核函数的显表达式[Bo]。因此,如何求Bergman核函数的显表达式一直是多复变函数论的一个重要的研究方向,至今仍吸引着许多数学家对此进行研究。 能够求出Bergman核函数的显表达式的域的种类并不多。在殷慰萍构造华罗庚域以前,只有两种类型的域可以求出Bergman核函数的显表达式。一类是复椭球域(Complex ellipsoid domain),又称作蛋型域(Egg domain)或卵形域(Complexoval);另一类是有界齐性域。 华罗庚利用典型域的全纯自同构可递群,以及Bergman核函数在全纯自同构下的变换关系,得到了四类典型域(也称为对称典型域或者Cartan域)的Bergman核函数。这种求Bergman核函数的显表达式的方法称为华罗庚方法。对于一些非对称的齐性域,也可以用华罗庚方法得到它们的Bergman核函数的显表达式 我们知道,有界Reinhardt域的完备标准正交系由单项式组成,而复椭球域是包含原点且以原点为中心的有界Reinhardt域,于是可以通过无穷级数求和函数的方法,计算其Bergman核函数的显表达式,这种求Bergman核函数的显表达式的方法称为级数法。 摘’要2 通常要构造一些可以求出其I3lfgllllll核函数的显表达式的域是比较困难的. 因此,一些数学家认为,凡是其BIYgllllll核函数能显式表示的域都是很好的域, 是值得研究的域. 殷慰萍自* 98年起,引入了一些新的类型的可以求出其 Berzlnan核函数显 表达式的域.井将其不断地进行推广,至*0()()年引进了华罗庚域.至 200年初, 又将其推广至广义华罗庚域.广义华罗庚域是指如下形式的域: GHEI卜卜…,N;,r。,n; PI,…,Pr;k) 一 {二5了。c\Z。贝小I乙,7丛):二卜/0。<。I。厂一*Z广/-工,…,叮} j,1 GHE,I(NI,…,N.; P; PI,…,Pr;k) 二{?互刃】。C\Z。W厂歹(P):二 I了二与‘’。<det(l一 ZZ)什,j一 l,…,r号 j=l OHElll(NI,…,从:q; PI,…,Pr;》。; -王了1。了。C屿,Z。Will(q):二 l贺I。。I’w<d<。(I+ZZ)&,j工 1,…,<} j—1 乏二711J日工I。,(二一~了卜…,Nr;,。Z;1,…;刃厂一r;I 一 {且y了*c…丐* 羽歹兄甲(I)二二卜IJj广*J<(且十I一巨2一***)&习j=l习切回回@*) j。1 J目一厂吞】n5j=({i夕.if,…,7互I。厂;),7一亚,…,)·习G三八7l,了从),R 11(p)号 奸Ill(q),9臼三IV(n)#5弓u 表示四类*肌hr。域(卜。叫).扩’表示Z的共轭转置,了表示厂的转置,了表示 Z的共轭.N;,…,Nr; P了’,…,沁l为正整数,P*;k为正实数. 当k=互时,广义华罗庚域就是华罗庚域. 由于在一般情况下广义华罗庚域既不是有界齐性域,也不是有界Reinhardt 域,因此既不能用华罗庚方法,也无法用级数法得到其B。rgman核函数的显表达 式.我们给出一种新的方法来求出广义华罗庚域的u。,rgman核函数.首先给出其 全纯自同构群,其中的元素厂…,))将点…,))映为点…”,0).由于关于B)fgf。n 核函数有如下的变换公式: K《i1J,1);而刁)=卜1*(矛IF)D*K《71少*弓0);厂工历, 其中(,卜)是尸(,;)的.I;COI)i矩阵,迁1et(.117)是(.和)的行歹式,这些都是易知 的.所以问题变为只须计算H以。I,”,0);币而).然后给出S。llli-Rlillhllydt域的定 义,并且求出S,。11i-Rei。dlar。It域的完备标准正交基.由于广义华罗庚域是Semi- R.)illllll以域,所以可以


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