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第三类Cartan-Hartogs域的Einstein-K(?)hler度量

张文娟  
【摘要】:本文的主要内容是研究第三类超Carton域的Einstein-K(?)hler度量。首先给出了第三类超Carton域的的Einstein-K(?)hler度量的生成函数的隐函数表达式;其次给出了其上Einstein-K(?)hler度量下的全纯截曲率的表达式及估计,得到Einstein-K(?)hler度量与Kobayashi度量的比较定理;最后是第一次在非齐性域上给出了完备的Einstein-K(?)hler度量的显表达式。文献[8]里指出要得到完备Einstein-K(?)hler度量的显表达式是非常困难的。本文采取了比较独特的的方法即我们利用第三类超Cartan域的全纯自同构群及全纯自同构下的不变函数X把Mong-Ampere方程化为常微分方程来达到这一目的。 对于C~m中具有二次连续可微边界的有界拟凸域,Cheng和Yau[1]证明其完备的Einstein-K(?)hler度量一定存在且唯一。N.Mok和S.T.Yau[2]又将这一结果推广到任意有界拟凸域Ω上。设Ω的完备Einstein-K(?)hler度量为则g是Monge-Ampère方程的下列Dirichlet问题的唯一解:这里g称为域Ω的Einstein-K(?)hler度量的生成函数。 第三类超Cartan域定义如下:其中R_Ⅲ(q)表示华罗庚意义下的第三类Cartan域,(?)表示z的共轭,上标T表示矩阵的转置,det表示行列式,q≥2为自然数。超Cartan域是华罗庚域的特殊情形。文献[4][5]给出了Y_Ⅲ的Bergman核函数,由此易知域的Bergman核函数是穷竭的,因而域Y_Ⅲ为拟凸域,因而可以通过计算生成函数g来得到Einstein-K(?)hler度量。我们利用第三类超Cartan域的全纯自同构群及全纯自同构下的不变函数X,把Mong-Ampere方程化为如下的常微分方程问题: 而其隐式解为 e·x一(二一二(。))(二一幂号黛y(。)。一二一)二‘·, 、『‘二二l, 其中 rY 沪(Y)=一孟__ JY(0 (N+l)yN一‘ )YN一韶针艺廷,Y(0)k一‘YN一k 而生成函数g可以表示为: g二;耳一尸; JV-I-l ,。g{(臀)“一‘Y,‘一(‘一Z了)一‘一‘,{ 其中Y是X的函数(丫二肠)而且是上述间题的解.我们得到在E油tein一K司日er度 量下的第三类超carton域全纯截曲率在点(0,叫处的值为 /些了,t1_荃IL_C、曰~14 ·rI-一、J,-一、11一。了灭丁“一可犷了F刀干T,!“川 ‘L、‘,功,,“、‘,,,,,z=0一‘、(毕一dz一2+y;’一aol泛、泛”宁 、、三、.,二尸 关tr(dz澎心砚尹) 罕(l一群T)IazlZlaw}’ 臀}dz}2+y,j面}2)2 ·雕黔架) 其中C一舞恶料.当K;一肖时,全纯截曲率上界为一个负常数,从而我 们得到Einstein一K幼ler度量与Kob扭yashi度量的比较定理: 比较定理:当K;一岩时,令场的完备的 其KO卜甘”hi度量为R场(二,w;功,则存在正常数 Einstein-K油ler c,使得对任意 度量为召场(:,。;,), (‘,w)任、乞了,v任eN 召场(z,w;v)三cR物(:,w;,). 当尤=苦+六时,场的生成函数。为 一呵击det(I一‘)一‘(鄂溯 从而我们得到完备的Einstein一K幼ler度量的显表达式.此时的1争刀一般而言是非齐 性的,这样我们就首先在非齐性域上得到了完备的Einstein一K汕ler度量的显表达式.


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