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第三类超Cartan域的完备Einstein-K(?)hler度量及其全纯截曲率

王贵霞  
【摘要】:本文考虑第三类超Cartan域 Y_Ⅲ(2, q; K)={ω∈C~2,Z∈R_Ⅲ(q):|ω|~(2K)det(I-Z(?)~T),K0}, 这里R_Ⅲ(q)表示华罗庚意义下的第三类Cartan域,因而Z是q阶斜对称方阵,det表示行列式,(?)表示Z的共轭,上标T表示矩阵的转置,q≥2为自然数。主要结果是给出了当K=q~2-q+2/2(q-1)时,Y_Ⅲ(2,q;K)的完备的Einstein-Kahler度量的显表达式,同时求出了在该度量下的全纯截曲率并得到其上、下界的估计。 丘成桐、郑绍远、莫毅明证明了C~(?)中的任一有界拟凸域Ω,一定存在唯一的完备Einstein-Kahler度量这一著名定理[1,2],设此度量为 则g一定是Monge-Ampere方程下述Dirichlet问题的唯一解: 这时,我们称g为Ω的完备Einstein-Kahler度量的生成函数。若g能显式求出,则相应的完备Einstein-Kahler度量也就显式求出了,但是除了有界齐性域外,能给出完备Einstein-Kahler度量的拟凸域极少,我们在本文中求出了当K=q~2-q+2/2(q-1)时,Y_Ⅲ(2,q:K)的完备的Einstein-Kahler度量的生成函数为 g=log[(1/1-X)det(I-Z(?)~T)~(-(q-1+(2/K)/N+1))(2/K))~(N-2/N+1)], 其中X=|ω|~2det(I-Z(?)~T)~(1/K),N=q(q-1)/2+2。 对Y_Ⅲ(2,q;q~2-q+2/2(q-1))的在完备Einstein-Kahler度量下的全纯截曲率ω((z,ω),d(z,ω))的估计中我们得到如下结果: -K≤ω((z,ω),d(z,ω))-1。


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