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直线和平面上的广义Radon变换

宋福陶  
【摘要】:本文研究直线和平面上的广义Radon变换。Radon变换是几何分析中的重要课题。近几十年来,Sadoll变换的理论发展得非常迅速,被用于许多问题的研究中,并被推广到各种空间上,取得了丰硕的成果。Radon变换在实际应用中也占有重要的地位,它是目前热门的CT技术或重构问题等的数学基础。 经典的Radon变换是关于Lebesgue测度的,其中的结论依赖于Lebesgue测度的旋转不变性和平移不变性,与其相关的工具是Laplace算子和Fourier变换。本文研究直线R~1上关于测度dm_α(x)=c_α|x|~(2α+1)dx的广义Radon变换和平面R~2上关于测度dm_(α,β)(x,y)=dm_α(x)dm_β(y)的广义Radon变换。这两种测度已不再有旋转不变性和平移不变性,因此,需要采用适当的方式来定义相应的广义Radon变换。使其具有良好的结构特征和解析性质,便于开展进一步的研究和应用。 本文把Trimèche引入的直线R~1上的Dunkl缠绕算子V_α对偶算子~tV_α定义为直线上关于测度dm_α(x)的广义Radon变换R_α,而Dunkl缠绕算子V_α就是该广义Radon变换的对偶变换(?)_α。文中的主要结果是:(ⅰ)证明了不同阶的Dunkl变换与广义Radon变换R_α的关系;(ⅱ)借助广义Riesz位势建立了广义Radon变换的反演公式。 本文给出了平面R~2上二元偶函数的广义Radon交换R_(α,β)及其对偶变换(?)_(α,β)的适当定义,所取得的主要结果有:(ⅰ)确定了二元广义Radon变换与广义Laplace算子(二元Bessel算子)的置换关系;(ⅱ)证明了二元广义Radon变换与Hankel变换之间的关系以及二元广义Radon变换与二元广义卷积的关系;(ⅲ)通过二元广义Riesz位势,建立了二元广义Radon变换的反演公式。


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