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Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性

张艳波  
【摘要】: 本文主要研究Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性。1912年Bernstein用概率论的方法定义了经典的Bernstein算子(见[2]): B_nf(x):=sum from k=0 to n(f(k/n)(?)x~k(1-x)~(n-k)),n=1,2…,其中f:[0,1]→R。经典的Bernstein算子有许多杰出的性质,这使它成为了研究的热门领域。后来随着q微积分的发展,出现了很多基于q整数的Bernstein算子的各种推广。A.Lupas就是在这个推广方向上作出贡献的第一个人。在1987年,A.Lupas引入了一种Bernstein算子的Lupas q-模拟R_(n,q)(f,x)(见[11]),Bernstein算子的Lupas q-模拟是经典的Bernstein算子的一种推广形式。定义如下:当q=1时,R_(n,q)(f,x)就退化成为了经典的Berstein算子,对所有q>0,以及任意正整数n,算子R_(n,q)(f,x)均是C[0,1]上的正线性算子。和经典的Bernstein算子一样,Bernstein算子的Lupas q-模拟也具有很好的保形性质,例如保线性,对凸函数的保单调性等等(见[11])。但它们也有本质的不同,例如收敛性及收敛速度等问题。Bernstein(见[4])证明了:如果f是[0,1]上的连续函数,则序列{B_n(f,x))在[0,1]上一致收敛到f(x)。而Sofiya Ostrovska(见[18])证明了对所有的g>0且q≠1,则R_(n,q)(f,x)一致收敛到f(x)当且仅当f是线性的。值得注意的是当q≠1时,算子R_(n,q(f,x)是有理函数而非算子。这是Bernstein算子的Lupas q-模拟与经典的Bernstein算子的最大区别。 本文主要研究Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性,得到了一些结果如下: (1)设q∈(0,1)固定,f∈C[0,1],则 ‖R_(n,q)(f)-R_(∞,q)(f)‖≤C_qω(f,q~n),其中C_q=max{5,2+(6-5q)/(1-q)~2}。并且这个结果在下述阶的意义下是最优的: 对每一个α,0<α≤1,存在一个函数f_α(x)属于Lipschitz类 Lipα:={f∈C[0,1]|ω(f,t)≤ct~α},满足 ‖R_(n,q)(f_α)-R_(∞,q)(f_α)‖(?)q~(αn)。其中A(n)(?)B(n)意思是:存在与n无关的常数c_1,c_2,满足c_1B(n)≤A(n)≤c_2B(n)。 (2)设f∈C[0,1],则对任意q∈(1,∞)有 ‖R_(n,q)(f)-R_(∞,q)(f)‖≤C_qω(f,1/q~n),其中C′_q是不依赖于f和n的常数。 (3)设q∈(0,1)固定,f∈C[0,1],则 ‖R_(n,q)(f)-R_(∞,q)(f)‖≤cω_2(f,(q~n)~(1/2)),其中c是一个绝对常数。 (4)设q∈(1,∞)固定,则 ‖R_(n,q)(f)-R_(∞,q)(f)‖≤cω_2(f,(1/q~n)~(1/2)),其中c是一个绝对常数。 (5)设q∈(0,1)固定,则对任意函数f∈C~1[0,1],有其中u=x/(1-x),且上述收敛结果对x∈[0,1]是一致的。 (6)设0<q<1,f∈C~1[0,1]。则‖R_(n,q)(f)-R_(∞,q)(f)‖=o(q~n)当且仅当 (f(1-q~(k-1))-f(1-q~k))/((1-q~(k-1))-(1-q~k))=f′(1-q~k),k=1,2,…。


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1 张艳波;Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性[D];首都师范大学;2007年
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