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关于雅克比级数和拉盖尔级数的一些问题

朱志辉  
【摘要】: 与特殊函数有关的函数论问题越来越受到数学家们的重视,是一个非常活跃的研究领域,其中的典型问题有Jacobi级数,Laguerre级数,Hermite级数,Hankel变换以及近年来才发展起来的R~n中带有反射不变测度的Dunkl变换等。这些问题既是经典函数理论的广泛推广,在特殊参数下又与李群和对称空间中的分析问题密切相关。但是由于特殊函数的性质比三角多项式复杂得多,在这些问题研究中会遇到许多实质性的困难,比如相应的广义平移和广义卷积运算的复杂性等,同时也衍生出一些有价值的新问题。 共轭函数(Riesz变换或Hilbert变换)是分析领域的重要概念和工具之一。自B. Muckenhoupt和E. Stein于1965年研究共轭超球级数以来,与特殊函数有关的“共轭”问题,比如共轭Laguerre级数,共轭Hermite级数,共轭Jacobi级数等,成为相关领域中的重要课题,取得了一系列研究成果,例如Muckenhoupt[1969],[1970],Thangavelu[1990],[1993],Gosselin-Stempak[1994],Li[1996],Nowak[2004],Graczyk[2005]等。 本文主要研究与共轭Jacobi级数和共轭Laguerre级数相关的几个问题,取得了一些有重要价值的研究成果,同时还研究了矩阵形式的Laguerre多项式的Sobolev正交性。本文的具体成果有如下四个方面: ·研究函数按照与Jacobi多项式相“共轭”的基底{R_(n-1)~(α+1,β+1)(t_1)1-t_1~2~(1/2)}_(n=1)~∞的展开问题,定义了相应的广义平移(?)_(t2)和广义差分算子(?)_(t2)。利用共轭基函数的特征微分算子D_(α,β)对相应的Jacobi-Poisson积分的作用给出了按照广义平移(?)_(t2)描述的L_(α,β)~p((-1,1))空间中的Lipschitz函数的特征刻划;并通过相应的Poisson积分的一阶导数给出了按照广义差分(?)_(t2)描述的L_(α,β)~p((-1,1))空间中的Lipschitz函数的特征刻划。 ·研究了Jacobi级数的(C,δ)平均和Abel-Poisson平均的饱和问题,利用相应于Jacobi级数的共轭函数的加权Lipschitz性质刻划了Jacobi级数的(C,δ)平均和Abel-Poisson平均的饱和类,从而对Jacobi级数建立了Alexits-Zamansky型定理。这是Butzer等人关于Legendre级数的推广,且不同于Bavinck的关于Jacobi级数的结果以及Horváth的饱和定理。 ·通过引入与Laguerre级数相应的广义差分算子(?)_y和核函数G(y),给出共轭Laguerre级数的主值积分表示。证明了广义差分(?)_y在某种范数意义下的有界性并可用来描述函数的光滑性。通过建立核函数G(y)的一系列估计式,证明了在某种范数或点态意义下,利用主值积分所定义的函数f的(Laguerre-)共轭函数与利用共轭(Laguerre-)Poisson积分(?)(x,y)所定义的共轭函数是一致的。 ·通过找出适当的带有导数的矩阵矩量泛函,证明了关于具有负的非整数特征值的参数矩阵的Laguerre矩阵多项式在此泛函意义下的Sobolev正交性;给出关于具有负整数特征值的可对角化参数矩阵的Laguere矩阵多项式的适当定义,并证明这种推广的Laguerre矩阵多项式关于上述泛函也具有Sobolev正交性。


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