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华罗庚域的不变度量的研究

张文娟  
【摘要】: 本篇博士论文主要研究的是华罗庚域上的不变度量,以第三类华罗庚域为研究对象,主要研究其上的完备K(?)hler-Einstein度量,Bergman核函数的显式表达以及经典不变度量的等价等问题。其它类型的华罗庚域也有类似结果,本文在此不赘述。 在第一章,我们主要研究了了第三类Cartan-Hartogs域上的K(?)hler-Einstein度量。并得到第三类Cartan-Hartogs域上完备的K(?)hler-Einstein度量。第三类Cartan-Hartogs域定义如下: Y_Ⅲ(n,q,K)={W∈C~n,Z∈R_Ⅲ(q):‖W‖~(2K)<det(I-Z(?)~t),K>0),这里det表示行列式;Z~t表示矩阵Z的转置,(?)表示矩阵Z的共轭,而R_Ⅲ(q)就是华罗庚[1]研究的第三类典型域(典型域也称为Cartan域)。根据已得到的第三类Gartan-Hartogs域上的Y_Ⅲ(n,g,K)上的Bergman核函数的表达式[2],可知该域上的Bergman核函数是穷竭的,由Bergman核函数是穷竭的可知Y_Ⅲ(n,q,K)是有界拟凸域[3,4]。Cheng-Yau[5]和Mok-Yau[6]证明了C~n的任意有界拟凸域Ω上存在唯一完备的K(?)hler-Einstein度量,该度量记为 E_Ω(z):=∑(?)~2g/(?)z_i(?)_jdz_i(?)_j,其中g是Monge-Ampère方程的下述边值向题的唯一解:g被称为E_Ω(z)的生成函数。由上面可知,要想得到有界拟凸域上的K(?)hler-Einstein度量,只要得到生成函数g即可。可要得到g则需要去解上面的完全非线性的Monge-Ampère方程。这是非常困难的。我们的方法是利用第三类Cartan-Hartogs域上的全纯自同构群以及在全纯自同构下不变的函数X将Mong-Ampere方程化为—般的常微分方程,从而得到生成函数g的隐式解。当参数K取特殊值q/2+1/q-1时可得到域Y_Ⅲ(n,q,K)上完备的K(?)hler-Einstein度量。而当q>2时域Y_Ⅲ(n,q,q/2+1/q-1)是非齐性的。 本章还得到了完备K(?)hler-Einstein度量下全纯截曲率的负的上下确界估计,根据M. Heins的结果[7]从而得到了Y_Ⅲ(n,q;q~2-q+2/2(q-1))的K(?)hler-Einstein度量和Kobayashi度量的比较定理。最后利用区间上连续函数的性质以及一些技巧证明了Y_Ⅲ(n,q;q~2-q+2/2(q-1))上Einstein-K(?)hler度量和Bergman度是等价的。 本文的第二章主要研究了第三类Cartan-Hartogs域上经典不变度量间等价的问题。本章最重要的一个结果是证明了丘成桐猜想即在一不可约且覆盖某一紧致K(?)hler流形的区域上K(?)hler-Einstein度量与Bergman度量等价在第三类Cartan-Hartogs域Y_Ⅲ(n,q,K)上是成立的。本章的方法在证明不变度量等价方面有很大的创新。我们引入一种新的不变度量,并证明这些度量与第三类Cartan-Hartogs域的Bergman度量是等价的,故我们引入的度量是完备的。我们还证明了这些新的完备度量下的Ricci曲率和全纯截曲率有负的上下界,从而我们可以利用丘成桐的Schwarz引理[8]证明Cartan-Hartogs中这些新的度量与Einstein-K(?)hler度量等价,从而得到第三类Cartan-Hartogs域Y_Ⅲ(n,q,K)上Bergman度量和Einstein-K(?)hler度量是等价的,此时K是任意正实数。尤其当Y_Ⅲ(n,q,K)是凸域时,可得四类经典不变度量Bergman、Carathéodory、Kobayashi和K(?)hler-Einsteia度量之间是等价的。 本文的第三章主要研究了第三类Hua结构上Bergman核函数的显式表达。第三类Hua结构定义如下: HC_Ⅲ={(w_1,w_2,…,w_n)∈C~m,Z∈R_Ⅲ:sum from j=1 to n |w_j|~(2P_j)/det(I-Z(?)~T)~(k_j)<1,P_j>0,k_j≥0}其中R_Ⅲ是第三类Cartan域。在这一章我们得到了当1/p_1,…,1/p_(n-1)是正整数,1/p_n是任意正实数时域HC_Ⅲ的Bergman核函数的显表达式。我们的方法的独特之处是利用第三类华结构HC_Ⅲ上的全纯自同构群以及完备规范正交系,根据Bergman核函数的定义和性质,将求Bergman核函数转化为求形式相对简单的多重无穷级数的和,我们利用一些很巧妙的方法得到了当参数1/p_1,…,1/p_(n-1)是正整数,1/p_n是任意正实数时多重 无穷级数的和,从而得到了第三类Hua结构上Bergman核函数的显表达式。


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