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与Hankel变换相关的Lipschitz函数

王刚  
【摘要】: 以Fourier变换为基础的经典调和分析已经发展成系统而丰富的理论,在各种框架下的广义Fourier变换也得到广泛的研究,Hankel变换是其中最典型的例子之一,与其相关的调和分析的研究已有一些重要进展,比如:关于Hankel变换的乘子问题和Littlewood-Paley理论等,特别是Muckenhoupt和Stein在1965年研究了相应于Hankel变换的Hardy空间,建立了一些基本理论。由于对与Hankel变换相关问题的研究需要采用与经典情况不同的平移和卷积结构,在研究中会遇到一些特殊的困难,同时也会发现一些不同于经典情况的新课题。Hankel变换定义在半直线上,它在全直线的推广是Dunkl变换的特例。近几年,对于直线上的Dunkl变换的调和分析的研究也取得了一些进展,这对关于一般Dunkl变换的研究有启发作用。但是,与经典情况相比,关于Hankel变换的调和分析还有很大的研究潜力,有待研究的问题还很多,比如,相应于Hankel变换的Hardy空间就一直没有发现新的进展。 利用调和函数的偏导函数在边界上的渐近性态可以刻划其边值函数的光滑性,并在一些问题的研究中发挥了重要作用,比如,Duren等利用Hardy-Littlewood和Zygmund在单位圆盘上的结论刻划了单位圆盘上的Hardy空间中的连续线性泛函。Taibleson研究了在上半欧氏空间上的调和函数边值的光滑性,Walsh直接用调和函数的方法给出了上半欧氏空间上的Hardy空间中的连续线性泛函的表示。最近,李中凯等研究了利用Jacobi级数的Poisson积分刻划其边值函数的光滑性问题。单位圆盘或上半欧氏空间上的经典Hardy空间上的连续线性泛函的刻划也可以通过Hardy空间的实变方法,但是到目前为止,还没有建立相应于Hankel变换的Hardy空间的实变理论。 本文的目的是研究相应于Hankel变换的Poisson积分或α-调和函数关于混合范数的L_α~(p,q)估计,并用来给出Lipschitz-Hankel函数的等价刻划。希望这些结论能在研究相应于Hankel变换的Hardy空间上的连续线性泛函时发挥作用。本文的主要工作包括: (ⅰ)证明了α-调和函数的平均值性质,给出了α-调和函数及其偏导函数的L_α~p估计,得到了共轭Poisson积分对Poisson积分在渐近阶上的按范数依赖关系; (ⅱ)给出了α-调和函数的偏导函数关于混合范数的L_α~(p,q)估计,及其不同阶偏导函数的L_α~(p,q)估计间的等价关系; (ⅲ)利用其Poisson积分的偏导函数的L_α~(p,q)估计,给出混合范数下的Lipschitz-Hankel函数的一些等价刻划。


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