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关于不可压Navier-Stokes方程和相关问题的一些研究

蔡晓静  
【摘要】: 本文由四部分组成: 第一部分研究带有阻尼项α|u|~(β-1)u(α>0)的不可压Navier-Stokes方程解的存在性和唯一性。利用Galerkin方法,我们得到了带有阻尼项不可压Navier-Stokes方程Cauchy问题当β≥1时,存在全局的弱解;当β≥7/2时,存在全局的强解,并且当7/2≤β≤5时强解是唯一的。 第二部分研究的是带有阻尼项α|u|~(β-1)u(α>0)的不可压Navier-Stokes方程Cauchy问题弱解的大时间性态。利用Fourier分解方法,我们得到了解的衰减率为-3/2,这与经典的不可压Navier-Stokes方程的衰减率是一样的。 第三部分对三维有界及无界区域上的非齐次不可压Navier-Stokes方程解的全局存在性和全局稳定性进行了讨论。利用细致的能量估计,在解满足适当的条件下,对初始数据加上更正则的条件和相容性条件,如果给初值一个小扰动,我们证明了解是整体存在的(0,∞),而且此解是全局稳定的。 第四部分对二维Boussinesq方程进行了一些讨论。利用Schauder不动点定理,我们得到了当初始旋度光滑时,二维Boussinesq方程存在唯一的古典解。但当初始旋度属于L~1(R~2)或者是Radon测度空间时,是否存在整体的解还未证明,进一步的研究正在进行中。


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