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几种拓展风险模型的应用

王姗姗  
【摘要】:精算数学是源于人们对保险业中风险管理的研究而应运而生的应用数学,而风险理论则是精算数学中最具有理论性的重要组成部分。风险理论的基础模型是由Lundberg在1903年提出的Cramer-Lundberg模型,这个模型是用一个具有时间齐次性和独立增量性的复合泊松过程来描述的。最初,风险理论主要研究保险公司所关心的几个精算量,例如破产概率、破产时、破产前余额、破产赤字等。通过利用随机过程、随机分析的理论和方法,尤其是Gerber等人将鞅的理论和方法应用到风险理论中,使得该学科得到了迅速的发展,在刻画有关古典风险模型下的精算量方面取得了丰硕的成果。 但是,以往考虑的古典风险模型假设了公司的余额过程具有时间齐次性和独立增量性。而实际中,存在着很多情景并不具有这种性质。因此为了使模型更贴近于实际,更能刻画风险的实际情况,风险理论研究领域出现了各种各样的拓展风险模型。下面,我们介绍几种拓展类。 首先,添加一些随机扰动过程。在实际中,保险公司的收入是不确定的。例如,顾客数是波动的,索赔到达密度可能是与时间有关的,索赔量和保费是随着通货膨胀增加的等等。为了描述这种不确定性,人们在原始的古典风险模型中增加了一些随机扰动过程,例如布朗运动、Levy过程等。 其次,拓宽索赔到达时间间隔的分布。Andersen于1957年首次提出了Sparre Andersen模型。在这个模型中,假设索赔到达时间间隔服从任意分布,即放宽了索赔到达时间间隔为指数分布的限制。此后,很多学者致力于对这个模型的研究,尤其在索赔到达时间间隔服从Erlang或相位分布的情形下,得出了许多精确的结果,例如Dickson and Hipp,Cheng and Tang,Avram and Usabel,Li and Garrido,Albrecher and Boxma,Gerber and Shiu,Schmidli,Ren,Li,Li and Lu等文献。 再次,引入马氏调节风险模型。因为实际中保险政策并不是一成不变的,保险公司会根据外界环境(天气、经济、政府政策等)的改变而对保险政策做一些适当的调整。例如,在汽车保险中,天气环境的好坏是影响事故发生的重要因素。在不同的天气环境下,保险公司的保险政策也将会有很大不同,比如说,保费的收取将会随天气环境的变化而变化。因此引入马氏调节过程来描述这种情景是很有必要的且具有实际意义的。关于马氏调节风险模型的研究可参考Reinhard [91], Asmussen [12,13], Bauerle [20], Wu [112], Miyazawa and Takada [83], Adan and Kulkarni [2], Miyazawa [82], Albrecher and Boxma [5], Jacobsen [56], Lu and Li [74], Ng and Yang [86,87], Lu [77], Lu and Li [75]等文章。 最后,进行再保险、投资、分红、交税。随着保险和金融市场的蓬勃发展,保险方面的研究显著地出现了与金融数学的研究相结合的特点。例如保险公司开始考虑再保险、投资、分红、税收等因素的影响。保险公司在收取保费的同时,也将承担支付索赔的风险,有时还会因为支付索赔过高而导致破产。所以,保险公司会采取一些相应的措施,比如进行再保险、投资金融市场。此外,相对风险而言,保险公司越来越关心它的收益,其中最具有代表性的收益量是破产之前总的分红量。所谓分红足指公司将部分盈余分给股东或初始准备金的提供者。由此不难看出破产前总的分红量的大小不仅代表着公司的收益,同时也象征了它的竞争力。另外,税收问题也是一个不可忽视的实际因素。考虑到诸多实际因素的影响,拓展风险模型在金融保险中占有越来越重要的地位 基于以上背景和研究现状,我的博士论文主要致力于研究几种拓展风险模型的破产概率,Gerber-Shiu期望折现罚金函数,分红问题和税收问题。本篇论文的结构和内容安排如下: 第一章,首先回顾古典风险模型以及模型中一些有用的定义,例如,破产时、破产概率、Gerber-Shiu函数、期望折现分红和期望折现税收。 第二章,研究了带干扰的古典风险模型。由于余额过程中扩散项的影响,导致了破产时刻既可能与某个索赔发生时刻重合,又有可能出现在两个相邻索赔发生时刻之间。因此,为了掌握破产概率的变化规律,除了要研究破产发生在每个索赔发生时刻的概率,还要研究破产发生在任意相邻两个索赔发生时刻之间的概率,以及破产时刻发生在两个相邻索赔发生之间的分布。我们得到了上述各量的Laplace变换的显示表达式,而Laplce变换的逆变换可以交给计算机完成。最后,我们给出了几个具体的数值例子来更加直观地说明我们的结论。 第三章,考虑了带扩散干扰的两类Sparre Andesen风险模型:一类是索赔间隔到达时间具有一个共同的广义Erlang(n)分布;另一类是索赔间隔到达时间服从相位分布。我们主要讨论了这两类模型破产前最大余额的分布及相关问题。破产前资产余额的最大值是反映保险公司资产实力的重要指标。对于保险公司而言,调查这个量不但有助于了解公司的偿付能力,而且为其提供了制定其他政策(如分红和投资)的依据。Gerber and Shiu [46],Li and Dickson [64], Li [63],和Li and Lu [69]都曾讨论过这个量。在这一章中,我们推导出了这个量所满足的具有一定边界条件的积分—微分方程。这一方程的解可以由相对应的齐次积分—微分方程的特解的线性组合所给出。通过利用Dickson and Hipp [33]提出的Tr算子,差分方法以及Lundberg方程的根,我们给出了特解的Laplace变换的明确表达式。当索赔服从有理分布时,得到了特解的显式表达式。此外,在边界分红策略下,我们推导出期望折现分红的明确表达式。 第四章,研究了带干扰的马氏调节风险模型在门槛分红策略下的Gerber-Shiu期望折现罚金函数和期望折现分红。在这种分红策略下,假定如果余额在破产前超过某个门槛水平就以不超过保费收取率的常数率进行分红;如果余额在门槛之下,则不分红。我们推导出此模型下Gerber-Shiu函数和期望折现分红分别所满足的矩阵形式的积分一微分方程。利用Li and Lu [69]和Lu and Li [75]所推广的作用在矩阵上的Tr算子和差分运算,我们得到了Gerber-Shiu函数和期望折现分红的解析表达式。这章的最后,我们给出了一些数值例子来更好地展示前面所得到的结果。 第五章,考虑了古典风险模型进行投资和税收的问题。Albrecher and Hipp [9]首次将税收问题融入古典风险模型。他们提出了一种loss-carried-forward的税收方式,即每当公司资产达到这一时期的最大值时(也称为盈利位置),公司将保费收取率的常数γ∈[0,1)倍交为税款。近几年来,税收问题成为比较热门的话题之一。 在第5.1节中,我们研究了按loss-carried-forward收税体系进行交税的古典带常利率风险模型。其中,我们做了以下两方面的拓展工作:一方而税款既来源于保费收入,也来源于以常利率投资的无风险收益;另一方面,税率不再限定为一个常数,而是规定为一个与公司当前资产有关的函数γ(χ),其取值于[0,1)。在这个模型下,我们得到了期望折现税收的精确表达式。对收税部门来说,他们期望选取一个合适的起始收税边界,使得它们能收到最多的税款。当税率为常数时,我们给出了一个有唯一的最佳起始收税边界的充分条件。这一节中,我们还列举了一些数值例子来展示前面的结论。 在第5.2节中,我们进一步扩展了上一节的工作。在古典风险模型的基础上,我们同时考虑了以下三个方面的因素:按照loss-carried-forward收税方式进行交税;当公司资产非负时,以常利率投资到无风险市场;当公司资产出现赤字时,允许公司以一定利率借钱,同时,保险公司要从它的保费收入中偿还贷款。在这个模型下,公司的资产为负值时有可能恢复为正值,除非它低于某一个特定的常数,此时称为绝对破产。这一节中,我们主要研究了绝对破产前的期望折现税收,给出了它的精确表达式。 第六章,对本文进行概括性总结,同时指出在本论文的基础之上,我们要开展的工作。


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