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不变Einstein-Randers空间

王辉  
【摘要】:Einstein流形在黎曼几何以及更广泛的——Finsler几何中是微分几何的一个基本的问题。在本文中,我们将研究齐性空间及李群上的不变Einstein-Randers度量。本文主要包括以下三个方面:(1)球面上的不变Einstein-Randers度量;(2)秩大于1的齐性空间上的不变Einstein-Randers度量;(3)紧李群上的左不变Einstein-Randers度量。 Randers度量与黎曼度量是息息相关的,它和黎曼度量的关系可以通过流形上的导航问题利用导航数据与黎曼度量和相似向量场联系起来。因此,Finsler流形上的Einstein-Randers度量的存在性问题与相应的黎曼流形上的Einstein度量的存在性问题也是息息相关的。我们将通过齐性空间与紧李群上的Einstein-Riemann度量与不变相似向量场着手考虑Finsler流形上的不变Einstein-Randers度量。 本文首先研究球面上的不变Einstein-Randers度量。首先,我们通过球面的迷向表示来确认球面上是否存在非零不变向量场,然后利用这样的向量场与球面上的不变Einstein-Riemann度量来构造球面上的不变Einstein-Randers度量。其次,我们证明了除上述不变Einstein-Randers度量外,球面上不存在其他不变Einstein-Randers度量。然后,我们利用李群的方法将这些度量加以等距分类,并确定了这些度量的全等距变换群。即我们给出了球面上不变Einstein-Randers度量的完备分类。 利用上述方法,我们研究了秩大于1的齐性空间上的不变Einstein-Randers度量的问题。这些度量与球面上不变Einstein-Randers度量给出了旗曲率不为常数的Einstein-Randers度量的例子,从而弥补了以往所得到的这样的度量大多是常旗曲率的缺陷。 实际上,这种方法还可以推广到李群上。在紧李群上,我们得到了一批左不变Einstein-Randers度量,并证明了在紧单李群上这些度量是所有的左不变Einstein-Randers度量,给出了过单位元的测地线公式,并且证明了一个简单的刚性结论。 对于紧单李群的情形,上述度量具有更好的几何性质。我们进一步给出了这些度量的等距分类,并确定了它们的等距变换群的单位连通分支。随后,我们给出了紧李群上这些度量的旗曲率公式。特别地,作为这些公式的应用,我们证明了这些度量具有常旗曲率当且仅当这些度量具有标量曲率。 通过对齐性空间与李群上不变Einstein-Randers度量的研究,本文得到了一大批具有非常曲率的Einstein-Randers流形的例子,它们都不是黎曼的,而且具有一些特殊的几何性质。


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