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一般最小混杂的s水平正规设计理论

李智明  
【摘要】:部分因析设计在各个领域都有广泛的应用,为提高试验效率,如何选择设计非常关键。目前,主要有五种最优设计准则:最大分辨度(MaximumResolution,简记MR)准则、最小低阶混杂(Minimum Aberration,简记MA)准则、纯净效应(Clear Effects,简记CE)准则、最大估计容量(Maximum EstimationCapacity,简记MEC)准则和一般最小低阶混杂(General Minimum Lower OrderConfounding,简记GMC)准则。值得注意,MR和MA准则以字长型(Word-length Pattern,简记WLP)为基础。MEC准则看似与WLP没有直接的联系,然而,[31]证明如果只关心主效应和二阶交互效应并且MEC设计存在,那么这个设计等价于MA设计。在这种意义下,MEC准则也是建立在WLP上并且和MA等价。而CE准则不同,它是依据纯净的主效应和纯净的二因子交互效应个数来选择最优设计。 为了深入揭示部分因析设计中因子之间的混杂信息以及各准则之间的关系,[56]针对两水平正规设计提出效应别名个数的分类模式(Aliased Effect-NumberPattern,简记AENP)。基于AENP建立一个新的最优准则——GMC准则。一个设计的AENP包含各阶效应以不同程度与其他效应别名的基本信息,它充分、直接地反映设计中不同阶因子效应之间的混杂关系,所以WLP以及纯净因子的个数均是AENP的函数(证明过程见[56])。基于AENP的GMC准则比MR,MA及MEC准则更精确、客观地体现了效应等级原则,可以安排有先验信息的重要因子,因此GMC设计应用广泛。目前二水平的AENP和GMC准则逐渐发展并完善起来,应用于正规设计、区组设计、裂区设计、混水平设计和一般正交设计等,形成二水平GMC理论体系,已经有了大量成果。但是,三水平或一般水平的研究成果很少。 本博士论文旨在把GMC理论推广到三水平及素数或素数幂s水平的正规设计。然而,我们不能直接把二水平的AENP和GMC准则应用于三水平或s水平的设计,区别在于因子与因子成分之间的关系。对二水平设计,因子和因子成分是一一对应的关系,但三水平和s水平不同,如三水平的二阶因子交互效应对应于两个正交成分以及s水平的二阶因子交互效应对应于s1个成分,并且通过因子成分的别名关系反映设计中因子之间的混杂信息。由于低阶因子成分比高阶因子成分重要,同阶因子成分同等重要,建立成分效应等级原则(Component Hierarchy Principle,简记CHP)并引入成分别名个数的分类模式(Aliased Component-Number Pattern,简记ACNP),特别的,二水平的AENP也称为ACNP。在ACNP的基础上提出三水平或s水平GMC准则。本文的主要贡献分成五部分: 第一部分由第二章组成。在三水平设计中,基于CHP引入ACNP以及三水平GMC准则,其中#iC(k)j表示与k个j阶因子成分混杂的i阶因子成分的个数,零阶因子成分表示均值及一阶因子成分为主效应。定理2.2.1给出ACNP与WLP的关系:其中A_i表示定义对照关系中字长为i字的个数。对于分辨度R≥III的三水平设计,定理2.2.2得到其纯净主效应的个数C1=#)1C(02和纯净二因子成分的个数定理2.3.3及定理2.3.4验证了三水平设计是GMC的必要条件。在这章最后一节,列出了27-run的全部GMC设计,因子数n=5,...,20时81-run GMC设计以及分辨度R≥IV的243-run GMC设计的表格,其中包括GMC设计和MA设计的比较。 第二部分是第三章。在二水平GMC设计中,和的计算存在着某种规律,为了揭示这种规律,分别对5N/16+1≤n N/2以及n≥N/2条件下被构造的GMC2n m设计中因子进行分析,得到了和的计算公式,其中N=2n m。主要的结果是定理3.2.6、定理3.2.7、定理3.3.1和定理3.3.2。第四章构成本文的第三部分。我们把ACNP和GMC准则推广到素数或素数幂s水平的正规设计。定理4.1.1得到sn m设计D中ACNP的计算公式:其中Bi(D,γ)=#{(d_1, d_2,..., d_i): t≤i}表示设计D的别名集中与γ别名的i阶因子成分的个数。定理4.2.1至定理4.2.8分别得到s水平设计的ACNP与其他准则的关系。定理4.2.1和定理4.2.2给出ACNP与分辨度R的联系。定理4.2.3证明WLP是ACNP的函数,而定理4.2.4揭示MA准则的内在本质,即具有平均最小低阶混杂。定理4.2.5和定理4.2.6验证ACNP与纯净主效应和纯净二因子成分的关系。另外,定理4.2.7和定理4.2.8给出GMC与MEC存在的联系。通过补设计,得到s水平GMC设计的若干结论,如定理4.1.3和定理4.3.4。为进一步研究sn m设计的GMC理论,把(n,N)分成两种情况:(1)(N/s+1)/2n≤N/s和(2)N/s n≤(N1)/(s1),其中N=sn m,主要结论是定理4.4.3和定理4.4.6。第四部分是第五章,它给出构造三水平GMC设计的一个有用定理。利用这个定理,得到任意设计Sqr=H_q\H_r(r q)是GMC设计。进一步,构造了n=(N-3~r)/2+i,i=1,2,3情形下的GMC设计并得到相应的值。主要结论为定理5.2.1,定理5.3.1,定理5.3.3,定理5.3.4和定理5.3.5.第六章组成第五部分。在有先验信息的前提下,试验者主要关注主效应和二阶交互效应能被估计出来。但是CE准则不能区分有相同个数的纯净主效应及纯净二阶交互效应或者无纯净效应的设计。针对三水平设计,按照成分之间混杂的程度(Degree),对ACNP中的元素重新排序来解决这类问题,得到一个新的排序方法:其中0,称为基于混杂程度的成分别名个数分类模式(Aliased Component-Number Pat-tern based on Degrees,简记ACNP-D)。基于ACNP-D,建立基于混杂程度的一般最小低阶混杂(General Minimum Lower Order Confounding based on Degrees,简记GMC-D)准则。定理6.2.4和定理6.2.5给出三水平GMC-D设计的性质。最后,我们列出所有27-run GMC-D设计,因子数n=5,...,20时81-run以及分辨度R≥IV的243-run GMC-D设计表格,包括GMC-D设计与GMC设计的比较。


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