对流占优扩散问题的某些新型间断有限元方法

【摘要】： 间断有限元方法（the Discontinuous Galerkin Method，简称DG方法）是由 Leasaint和Raviart([3])在1974年求解中子迁移方程时，针对中子迁移运动的特点提 出的一种新型数值方法。随后C.Johnson，G.R.Richter等人对这种方法作了进一步的 研究（[4],[8],[9],[10],[28]），并且得到了改进的误差分析结果。由于这种方法具有沿流线 从“上游”到“下游”逐层逐元进行计算的显式求解的特点，并且可以进行并行计算，因 此被相当广泛地应用于双曲问题中，如双曲守恒律方程及可压的N-S方程（[11]-[15]） 等。 G.R.Richter等人针对对流占优扩散问题在很大程度上呈现的是双曲性质这一特 点，于1992年提出利用间断有限元方法求解定常对流扩散问题（[18]），并且证明当网 格剖分满足一定的条件及扩散系数之取值很小以致与网格参数同阶时，数值解具有良好 的稳定性和高阶精度。 能否以及如何利用间断有限元方法求解发展型对流占优扩散问题是本文研究的核心 内容。基于时空元的传统有限元方法可以使时间和空间方向的精度很好地协调起来，但却 增加了实际计算的复杂程度。在二十世纪九十年代，孙澈教授（[26]）对非定常一阶双曲 问题提出了差分间断有限元方法（finit difference discontinuous Galerkin method， 简称FDDG方法）：对时间方向采用差分离散，对空间方向采用DG离散。本文首先将 这种方法推广到发展型对流占优扩散问题，比较系统地阐明了FDDG方法的构造及有 关理论结果，在此基础上，应用算子分裂的观点，提出了间断有限元算子分裂方法及间 断有限元分数步方法，给出了它们的理论分析并应用于非线性对流占优扩散问题。 本文内容主要分为两部分。第一部分（前两章）简要介绍了一阶双曲问题的DG方法 和FDDG方法的格式构造，并将其推广应用到线性对流占优扩散问题，阐明了FDDG 方法的理论分析及具体实现。第二部分（后三章）则针对对流占优扩散问题的具体特点， 构造了基于算子分裂观点而提出的两个耦合型有限元格式；间断有限元算子分裂格式与 间断有限元分数步格式，并对格式的理论分析和具体实现进行了适当的探讨。 一阶双曲问题的间断有限元方法是本文工作的基础和背景，所以在第一章我们介绍 了一阶双曲问题的DG方法和FDDG方法，首先以线性问题为模型，介绍了DG方 中文摘要 ＊1 法的基本思想和算法实现：从人流边界仅在求解区域的入流边界的单元开始，沿流线方 向逐个单元进行计算，得到在整个求解区域上的数值解．对发展型的问题，则采用时空 有限元空间．理论结果表明，间断有限元方法具有良好的稳定性和收敛阶，第一章的重 点是以非定常一阶线性双曲问题为模型，介绍了作者参与的一项前期工作UqX该文提 出了求解非定常一阶双曲问题的差分间断有限元（＊＊＊q方法：对时间方向采用有限 差分离散，对空间方向采用间断有限元离散．理论分析表明，＊＊＊G格式保持了＊G 方法的主要优点，具有良好的数值稳定性和高阶精度，并且由于其显式性，使得具体实 现更加方便快捷． 第二章探讨了将求解非定常一阶双曲问题的＊＊DG格式及mchter对定常对流扩 散问题提出的 DG格式O18］）推广应用到非定常线性对流占优扩散问题的可行性．本 章提出了适用于非定常问题的 Euler型 FDDG格式和 C－N型 FDDG格式，应用与 卜8］完全不同的理论分析方法，在关于空间网格剖分与文［18］所给出的相同条件下，建 立了该格式的稳定性与精度阶估计．理论分析与数值算法表明：”在一定的条件下，作为 一种迎风型显式有限元方法的始自数值求解一阶双曲问题的＊＊＊G方法，确可应用于 作为二阶抛物问题的发展型对流占优扩散问题． 第三章提出了求解非定常对流扩散问题的间断有限元算子分裂方法．在第二章的讨 论中，我们发现，只有当扩散系数很小且空间网格剖分满足某种条件时，才能保证＊DDG 格式的稳定性和高阶精度．为克服用＊＊＊G格式数值求解非定常对流占优扩散问题的 这些不足，在本章中，我们提出了间断有限元算子分裂方法，即在每一个时间段内，先 利用 FDDG方法求解一个双曲问题，然后以其数值解作为初值，用标准有限元方法求 解一个热传导问题，这种算法是半显式的．其基本思想是：在＊＊＊G格式的基础上， 求解一个易于计算的纯扩散问题，对＊D＊G之解进行修正．这样，使用算子分裂技术 就十分自然了．理论分析表明：这种耦合型的间断有限元算子分裂格式确可解除第二章 中单纯采用 FDDG格式时施加于扩散系数以及网格剖分 Th上的较苛刻的限制，且仍 然具有与＊＊＊G格式相同的稳定性与较高的精度阶估计．本项工作也受到应隆安教授 工作U叫）的启发．关于同类有限元分裂格式的构造及分析，在国内外文献中，作者尚 未见到，本章对线性问题的间断有限元算子分裂格式进行了较详尽的讨论． 第四章利用线性化和归纳假设论证技巧，将第三章的方法推广到非线性问题．利用