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类对称空间与仿凯勒流形

杨明升  
【摘要】: 本文讨论某些李群以及某些与李群密切相关的流形的几何性质。李群虽然最早起源于 微分方程,但它的成熟与发展是离不开微分几何的。李群与微分几何间的关系至今仍是数学 的重要研究课题。本文一共六章,大致可分为两部分。前三章为第一部分,主要讨论幂零及 可解李群的几何。 在黎曼几何中,带有左不变黎曼度量的幂零和可解李群具有重要作用。如:它们出现在 非紧致黎曼对称空间的等距群的Iwasawa分解中;任一非正截面曲率的连通齐性黎曼流形 可以表为带有左不变黎曼度量的连通可解李群等。带有左不变黎曼度量的幂零及可解李群 的微分几何,调和分析和谱几何是重要的研究课题。 众所周知,黎曼对称空间是一类非常重要的黎曼流形,它具有相当好的几何性质。自然 约化黎曼齐性空间,黎曼测地轨道空间,弱对称空间,交换空间,D’Atri空间等都是黎曼对 称空间的自然推广。寻找这些类对称空间的新例子或者说考虑它们的分类问题以及研究这 些类对称空间的几何性质自然都是重要的。带有左不变黎曼度量的幂零(特别是二步幂零) 和可解李群与上述类对称空间密切相关。 带有左不变黎曼度量的二步幂零李群称为二步齐性幂零流形。近二十年,它们的黎曼几 何,调和分析和谱几何研究相当活跃。在研究带有左不变黎曼度量的二步幂零李群(N,〈·,·〉) 的几何性质时,适合条件 ((?)表示N的李代数n的中心,b=(?)(?))的映射{J_X}X∈(?):b→b起着重要作用。因 为这些映射把n上的内积和李括积联系起来,所以它们带有大量的几何信息。如果对任意 X∈(?)有J_X~2=-〈X,X〉Id,则称(N,〈·,·〉)是广义Heisenberg群(generalized Heisenberg group)。广义Heisenberg群是1980年A.Kaplan引进的,这些空间是二步齐性幂零流形 的一个子类且被认为是带有左不变黎曼度量的二步幂零李群的模型空间,它们为类对称空间 的许多问题和猜想提供了例子或反例。如果对任意X∈(?)存在λ(X)<0使J_X~2=λ(X)Id, 则称(N,〈·,·〉)是修正的广义Heisenberg群(modified generalized Heisenberg group)。 J.Lauret引进并且研究了这些空间,它们亦为类对称空间的许多问题和猜想提供了例子或 反例。本文第二章我们构造了一类J_X~2((?)X∈(?))有两个不同特征值的二步齐性幂零流形(我 们称它们为δ-H型群),我们研究了这类空间的几何性质并由此得到了上述类对称空间的一 些新例子。 文章第一部分的安排如下。在第一章中,我们重提广义Heisenberg群,自然约化黎曼 齐性空间,黎曼测地轨道空间,弱对称空间,交换空间,D’Atri空间的概念及某些基本结 果,特别是判定二步幂零李群是自然约化黎曼齐性空间(黎曼测地轨道空间,弱对称空间, 交换空间)的充要条件。 在第二章中,我们构造并且研究了二步齐性幂零流形的另一子类一止H型群的几何性 质.在第一节中,我们研究了和H型群的曲率,整体坐标,测地线,某些子丛的可积性及等 距群等基本几何性质.第二节研究了个H型群与类对称空间的关系.我们给出了和H型群 是自然约化黎曼齐性空间,黎曼测地轨道空间,弱对称空间,交换空间及D’Atri空间的充 要条件并由此得到了这些空间的一些新例子·在第三节中,我们证明广义Heisellberg群的 一半直积扩张与相应的某一6-H型群等距. 可解李群与类对称空间亦密切相关.Damek-Ricci空间即是广义Heisenberg的一可 解扩张李群.在第三章中;我们构造且研究了Heisellberg群的一可解扩张李群G的几何性 质.第一节讨论了G的曲率,李指数映射,整体坐标等基本几何性质;第H节研究了TG 的某些子丛的可积性及可积时诱导叶片的几何结构;第三节给出了G的Jacobi算子的特 征值和相应的特征子空间. 后三章为第二部分,主要讨论双极化与仿凯勒流形.设M是一个辛流形,如果在M上 存在两个横截的拉格朗日叶状结构,则称M为一个仿凯勒流形.仿凯勒流形的概念,最早 是由P.Lib。rmann给出的.早期的有关这类流形的研究与物理和力学密切相关.自从1991 年金行壮二发表了陪集空间上存在不变仿凯勒结构的代数化结果后,李群及李代数理论在 这类流形的研究中起着主要作用.特别地,李代数的双极化与这类流形密切相关.半单李代 数的双极化及相关几何,金行壮二;侯自新和邓少强等人已作了研究.二次李代数是比半单 李代数更广且带有非退化不变双线性型的李代数.本文主要研究了二次李代数的双极化及 相关几何. 本文第二部分安排如下.在第四章中,我们先回忆了仿凯勒流形和李代数的双极化的概 念及某些基本结果,特别是金行壮二的代数化结果;然后我们讨论了二次李代数的某些代数 性质,特别是Cartan子代数是由半单元组成的二次李代数的结构和性质,证明如果二次李 代数g的Cartan子代数是由半单元构成,那么它只能是下列情况之一:川o为单李代 数;仰9是一维的;仰9是可解的.这些代数性质在讨论双极化时是至关重要的. 第五章讨论了某些二次李代数的双极化.在第一节中,我们给出了二次李代


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