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组合数学中的代数方法

侯庆虎  
【摘要】:代数在组合数学中起着重要的作用。在计数组合学中,我们需要群论,环论,代数等理论。在图论中,我们有代数图论,通过研究图的谱,色多项式等来研究图的性质。在组合设计和编码中,我们需要有限几何和Hadamard矩阵等工具。在组合的各个分支还可以发现更多的例子。本文就利用代数方法讨论两个组合问题。 在文章的第一部分,我们考虑了同余类的限制和问题。 该问题最早由Erd(?)s和Heilbronn在1964年提出。他们猜想:对于任何Z_p的非空子集A,至少有min{p,2|A|-3}个模p的同余类可以表示为A中两个不同元素之和。这一猜想在30年后被Dias da Silva和Hamidoune[12]解决。他们利用对称群表示论得到了关于A的n重和的结果。1995到1996年期间,N.Alon和I.Z.Ruzsa提出了多项式方法来解决这类问题。这种方法将对不同和的个数的估计转化为求一个特殊多项式的某一系数。其运用的关键在于选择合适的多项式并计算出其系数。中选取的多项式只能处理集合元素个数两两不同的情况,因此无法直接证明n重和问题。 注意到这一缺陷,我们推广了多项式方法,选取了另外的多项式。该多项式的系数较为复杂,难以直接计算。我们引进了一个线性算子并研究了其性质。由此出发,结合Dyson猜想,我们求得了所需的系数,从而得到了关于限制和的个数的下界。这一新的估计包含了Silva和Hamidoune的结果,更重要的是,它给出了在多限制条件下和的个数的最好估计,并有一些有意义的推论。 在文章的第二部分,我们考虑了双超几何项的递推公式。 超几何项在数学和物理中有着广泛的应用。许多著名的恒等式是关于超几何项的。例如Gauss等式和Dixon等式。对这些恒等式,人们给出了许多漂亮的证明。然而更令人惊奇的是其中有大量的恒等式可以机械证明。从1990年开始,Zeilberger和Wilf发展了一系列漂亮的方法来机械证明超几何和q-超几何恒等式。其基本思想是找到等式两边函数的递推关系并证明两者等价。从而我们只需验证初始值就可证得该等式。显然,这种方法有一个基本假设,即等式两边的函数都可以由有限个初始值确定,即完整函数。它的精确定义是用环论的语言来给出。这种定义非常抽象而且难以验证。所幸的是Zeilberger和Wilf在中证明了正则的超几何项是完整的并猜想其逆命题也成立。 通过对Gosper算法的推广,我们引入了对有理函数及双超几何项的表示。利用双超几何项的两个基本递推关系,我们导出了这种表示的一般形式。由此,我们证得一个双超几何项有k无关的递推关系当且仅当它是正则的。从而完整双超几何项必然是正则的。这就对可机械证明的恒等式进行了刻划。


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