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随机方程及其在信用风险中的应用

薄立军  
【摘要】: 本文分五个部分来研究反射随机微分方程,随机偏微分方程以及它们在信用风险理论中的应用。 反射随机微分方程可视为一个Skorohod问题。在李普希兹条件下,其强解的存在唯一性被Lions和Sznitman所证明。随后李普希兹条件被分别拓展到了单面李普希兹和Yamada-Watanabe条件。Le Gall,Bass和Chen,Zhang,Marin和Real分别证明了在这些条件下,其强解的存在唯一性。本文第一章1.1节将延续这方面的研究。与现有文献的不同之处在于,我们考虑在Fang和Zhang的非李普希兹条件下,其强解的存在唯一性。特别地,在一维情形下,我们结合Fang和Zhang非李普希兹条件的特点以及局部时的性质证明了一个强比较定理。由于反射随机微分方程的解能被限制在某些特定的凸区域上,这个特点使这类方程在排队论、金融建模中有重要应用。其中Harrison用双边反射布朗运动建立了存储模型,随后Ata,Harrison和Shepp用双边反射O-U过程描述了布朗网络优化问题。Goldstein和Keirstead用零点单边反射随机微分方程建模瞬时利率过程,并导出了当利率过程建模为反射布朗运动和反射O-U过程时其衍生产品价格的闭形式解。Ward和Glynn证明了带拒绝的无限容量的离散排队系统能扩散逼近到一维单边反射O-U过程。进一步单边反射O-U过程的性质被接下来的文章Ward and Glynn导出。受Ward和Glynn极限结果的启发,如果研究的离散排队系统是有限容量的,那么其扩散逼近的极限能被描述为一个一维双边反射O-U过程。在第一章1.2节,我们导出双边反射O-U过程首中时的拉普拉斯变换。应用这个变换,我们很容易获得首中时矩的解析表达式。这为以后研究系统的参数估计和遍历性提供了依据。接下来,我们考虑一类广义零均值回归双边反射O-U过程。其强解的积分泛函的拉普拉斯变换在第1.2.3节中被证明。进一步在1.2.4节,我们将这个结果应用到违约风险和数字期权的定价中。在第1.3节,我们考虑扰动反射扩散过程的轨道大偏差原理。所谓扰动反射扩散过程是指在反射扩散过程的基础上再以其最大值过程作为扰动,其背景和强解的存在唯一性见Doney和Zhang。在大偏差原理的证明中,难点是在证明一致Freidlin-Ventzell估计时,对最大值扰动过程的估计。在最后的1.4节,我们研究在局部风险最小的约束下,关于带有回复和分红可违约未定权益的对冲方案。与现有文献的不同点在于我们引入了分红和鞅不变性假设。因此在对冲方案的证明中我们需要引入类似于Belanger,Shreve和Wong采用的过滤。 在第二章,我们考虑带有可违约风险债券的最优投资组合问题。关于无违约风险的最优投资组合问题的开创性工作始于Merton。近期对带有可违约风险的最优投资组合和对冲引起了广泛关注。对于可违约市场建模,目前最为流行且易操作的方法是基于强度的简约形式,即用一个已知的非负扩散过程直接建模违约停时的条件生存过程(见附录A的简约框架的定义)。这种形式是不同于另外一种所谓结构建模的方法。另外一方面,在关于可违约风险债券的最优投资组合研究的文献中,Jang和Bielecki与Jang提出了一个基于常值违约强度和风险溢价的可违约零付息债券价格动力学,并通过最大化期望终止财富HARA效用建立了一个关于零付息可违约债券,无违约风险资产和无风险债券的最优资产分配方案。在常值违约强度和风险溢价的假设下,最优投资分配比例和对应的值函数都具有解析形式。然而在实际情形下,违约强度和风险溢价是随时间随机波动而并非固定不变(见Pham对无违约情形相关问题的讨论)。基于这个观察,我们在第1,2节分别讨论在对数和非对数效用下,当违约强度和风险溢价均依赖于一个共同的随机因子(用扩散过程来描述)时,关于零付息可违约债券,无违约风险资产和无风险债券的最优投资组合问题。相比于Jang和Bielecki与Jang的结果,我们仍然能得到最优分配比例的闭形式。尽管相对应的HJB方程不具有解析解,但我们可以通过偏微分方程的上下解方法获得HJB方程经典解的上下函数界。这同时为我们证明验证定理提供了方便。如果我们进一步放宽假设,那么HJB方程可能连经典解都不存在。一个可行的方法是定义HJB方程的粘滞解。我们可以证明值函数就是一个粘滞解。然而粘滞解是比较弱的一种解,因此其唯一性较难证明。第3节将采用粘滞解方法来讨论在一般情形下,当违约强度和风险溢价均依赖于一个共同的随机因子时带有可违约风险的最优投资组合问题。其中我们应用Belanger,Shreve和Wong提出的违约债券定价公式导出在物理测度下的零付息可违约债券的价格动力学。注意到我们得到的状态(财富)方程是带跳且反射在零点。这启发我们将Atar,Budhiraja和Williams与Benth,Karlsen和Reikvam的方法结合起来证明我们的HJB方程粘滞解的唯一性。 第三章的内容集中在对两类高阶抛物型随机偏微分方程的研究。我们考虑的对象是非高斯噪声扰动的随机Chan-Hilliard和Kuramoto-Sivashinsky偏微分方程。确定性的Cahn-Hilliard方程描述了一些重要的两相位系统的定性特征,例如当研究材料快速冷却时显示的一种快速分离的相位系统。近年来,这个方程在材料科学的研究中变得越来越重要。然而,在实际研究中相位系统的进化往往是不确定性的。因此用随机噪声扰动的Cahn-Hilliard方程更能确切描述相位系统的进化过程。由高斯噪声驱动的Cahn-Hilliard方程首先由Da Prato和Debussche和Cardon-Weber所研究。这里,我们区别于现有文献考虑非高斯扰动的Cahn-Hilliard方程,而Kuramoto-Sivashinsky方程描述的是物理学中模拟电磁场的运动变化。在第3.1节,我们证明由Levy时空白噪声驱动的Cahn-Hilliard方程局部mild解的存在唯一性。一个需克服的困难是传统的Burkholder-Davis-Gundy不等式并不适用于带跳的Cahn-Hilliard方程。因此我们引入一个改进的Burkholder-Davis-Gundy不等式。第3.2节将延续考虑分式噪声扰动的Cahn-Hilliard方程。由于Cahn-Hilliard方程的非线性,我们采用一种弱收敛方法来证明其全局mild解的存在唯一性。这种方法需要证明截断解的胎紧性,因此需要相对应格林核的一类新的估计。此部分估计已经被我们证明并被安排在附录B中。结合格林核的估计,我们在第3.3节证明高斯噪声驱动的Cahn-Hilliard方程全局mild解的Stroock-Varadhan特征支撑定理。仍由于方程的非线性导致我们需要引入一个局部化方法。其中各种格林核的相关卷积函数的正则性被证明。在第3.4节,我们分别考虑在It(?)和Skorokhod积分意义下的四阶高斯空间修正噪声和分式(可视为时间修正的高斯)噪声扰动的随机Anderson模型,证明解的正则性并估计其Lyapunov指数。在这一章最后,我们证明由Poisson随机测度驱动的非局部Kuramoto-Sivashinsky方程全局弱解的存在唯一性。进一步,我们证明其解生成半群的Feller性进而应用Krylov-Bogoliubov定理证明在一些“稳定”条件下该半群不变测度的存在性以及支撑性质。 平行于第三章的研究内容,我们在第四章考虑随机波动方程。目前确定性(强)衰减半线性双曲方程已经被广泛研究。一个重要主题是解的爆炸性,也就是解是否在有限时间内成为无穷。然而随机版双曲方程解的爆炸性研究好像非常困难。不过在第4.1节我们给出了Q-维纳过程扰动的(强)衰减半线性波动方程mild解以正概率在有限时间爆炸或其平方矩在有限时间爆炸的充分条件。在证明过程中关键是构造合适的能量函数。在最后两节,我们集中考虑纯跳的随机波动方程。目前现有文献好像还没有这方面的研究工作。在第4.2节,我们引入由Poisson随机测度驱动的衰减半线性波动方程,通过构造合适Lyapunov泛函(能量),运用弱收敛方法分别证明其全局弱、强解的存在唯一性。随后我们证明其解的Markov性,进而证明解半群的Feller性。基于以上结果,我们仍应用Krylov-Bogoliubov定理证明解半群不变测度的存在性和支撑性质。在第4.3节我们延续考虑Levy(非高斯)过程驱动的随机波动方程。关于解的存在唯一性的证明,我们基于Levy过程跳的如下性质:对于只有小跳的Levy过程是一个鞅且具有任意阶矩,而Levy过程发生大跳的时间是可以从小到大依次排列。由于一般的非高斯Levy过程的高阶矩不一定存在(例如α-稳定过程),因此在讨论不变测度时我们把漂移和跳系数限定在某一个函数类中。这样在合适的'稳定'性假设条件下,我们证明解半群的不变测度是存在唯一性的。 在最后一章,我们提出一个关于空间白噪声驱动的带有齐次Dirichlet边界条件的一类二或三维椭圆随机偏微分方程间断(不连续)有限元数值方法。建立了这种方法的L~2范数误差估计。一个维数为d=2的数值测试验证了这种数值方案是可行有效的。另外一方面,间断有限元方法已被广泛应用到确定性非线性双曲方程和对流占优问题当中,特别地已被证明在处理纯椭圆型方程时是非常有效的。这一章我们采用Cockburn和Shu提出来的间断有限元的一种变形,这种方案提供了高精度的逼近,并且是局部守恒和局部高阶的。这类不连续数值方案被应用到随机椭圆方程中好像还是第一次。 在本文结尾,我列出了近期考虑的几个研究主题。其中主要集中在利用双边反射扩散过程建立带有目标域汇率模型。目标域汇率模型的开创性工作归功于Paul Krugman。值得一提的是Paul Krugman刚刚获得2008年的诺贝尔经济学奖。在他以及接下来其他学者对目标域汇率模型的研究主要集中在用双边反射布朗运动进行建模。这里我们用更一般的双边反射O-U过程来直接建立目标域汇率模型。区别于反射布朗运动,反射O-U过程的漂移是依赖于汇率水平的。因此我们需要设计合适的半参数估计方案通过汇率市场数据对模型参数进行校准,另外我们又利用线性反射扩散过程解的性质完成模型的仿真研究。经验和仿真结果都表明我们的反射模型是有效的。此外,我们还考虑将调整风险加入到目标域汇率模型中,将向上(升值)和向下(贬值)调整用一个连续时间两状态马尔可夫链来建模,进而我们导出关于调整目标汇率衍生证券的一般定价公式同时给出当目标汇率建模为Jacob扩散模型时价格的闭形式解。


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