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数值验证法证明超几何恒等式

郭强辉  
【摘要】: 通过验证有限项(n_0≤n≤n_1)特殊值来证明超几何恒等式这一想法最早由Doron Zeilberger于1981年提出,并由Lily Yen于1993年实现。自此,怎样估计出尽量小的n_1,从而使得数值验证具有可行性,就成为人们感兴趣的研究课题.本文就主要研究了n_1的估计,以及其中涉及的一些数值计算问题。 一般来讲,n_1可表示成下述三个数值的简单函数:欲证明等式中和式所满足的递归关系的阶数L,该递归关系中首项系数的最大非负整数根n_a,以及其中所有系数多项式的最高次数n_f。本文的主要工作是在研究借助Sister Celine算法或Zeilberger算法得到的具体的符号线性方程组的数值性质的基础上,提出了估计n_a和n_f的一个新方法,实例表明,我们的估计结果与之前的工作相比有了极大的降低。 与现有方法类似,我们通过研究符号线性方程组多项式解的次数和高度的上界来估计n_f和n_a。不同的是,我们基于具体的方程组进行估计。为此,我们首先研究了多项式的次数和高度的一些基本性质,得出了估计多项式矩阵行列式的次数和高度上界的公式,并对该公式的计算进行了讨论,特别是我们将次数上界的计算转换成了组合优化中经典的指派问题,从而实现了高度上界的快速计算。接下来我们给出了一个估计符号线性方程组多项式解的次数和高度上界的算法。同时,借助该算法的部分结果,我们还给出了一个利用数值方法求解符号线性方程组的算法。 将上述估计符号线性方程组多项式解的次数和高度上界的算法与Sister Celine算法或Zeilberger算法相结合,我们最终提出了一个估计n_1的新方法,该方法对q-超几何恒等式同样有效。大量实例表明,与以前的结果相比,我们的方法极大的降低了对n_1的估计,尤其是对q-超几何恒等式,我们的方法不仅能够得到充分小的n_1,而且运行速度也很快,这就使得利用数值验证法证明超几何恒等式具有了实际意义上的可行性。


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