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复杂一维波网络的稳定性

刘东毅  
【摘要】:本文利用图理论,半群理论和Riesz基方法研究复杂一维波网络的稳定性问题,即讨论了网络在被施加控制后所形成的闭环系统的Riesz基性质,以及在不同顶点施加控制后受控网络的稳定性. 首先用图的理论来描述了偏微分网络的连接方式,给出几何连续型波网络的定义,建立了复杂一维几何连续型波网络的动态行为的数学模型.基于系统能量的分析,设计系统的反馈控制器,以使系统的能量耗散,并且讨论了各种控制器设置方式. 第二,利用半群理论解决了闭环反馈系统的适定性问题.通过谱分析,证明了系统算子的谱,在一定条件下,分布在左半复平面且平行于虚轴的带型区域内.进一步,证明了系统算子的(广义)本征向量的完整性和系统的Riesz基性质,于是系统满足谱确定增长条件.此外,还将系统特征行列式用图的边与边的交接矩阵简洁地表达出来.然后利用下确界估计和在虚轴上的谱分析的方法,讨论网络系统在不同控制方案下的稳定性问题,如完全控制,不完全控制和边界控制等等.同时,给出了一些渐近稳定和指数稳定的充分和必要条件.解决了在不精确可控条件下,如何使具有平行边与回路的网络渐近稳定的问题. 第三,基于前面的理论分析,讨论了一些具体弹性弦网络的控制器设计方案及其稳定性问题,如星形网络,树形网络,带有一个或多个回路网络和蜂巢型弦网络.根据“无理相关性”,提出了一个分析完全受控的网络渐近稳定性的简单路径算法. 最后,还分析了两个特殊的非几何连续型波网络的Riesz基性质和稳定性,一个是力连续系列(串联)连接弦网络,另一个是混合连接型三角形回路网络.


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