一维波网络的控制器设计与稳定性分析
【摘要】：近几十年来,波网络的控制与镇定成为国际上的热点问题.本文以树形波网络和bush-型波网络为对象,研究了波网络反馈控制器的设计和相应闭环系统的稳定性.
1.分析了常系数树形波网络在节点速度反馈控制下的指数稳定性.提出“发展”的观点,将树形波网络看成由单个波方程发展而来的.依照网络发展的顺序研究系统中相邻边的本征值问题,得到了系统本征方程的递推表达形式.再按照相反的顺序估计递推表达式在虚轴上的下确界,给出了分析系统指数稳定性的简单方法.作为这一方法的应用,证明了常系数树形波网络在边界控制下的指数稳定性.
2.考察了变系数树形波网络在节点速度反馈控制下的指数稳定性.首先通过适当的变量代换,将变系数树形波网络转化为变系数扰动下的常系数树形波网络.利用“发展”的观点和渐近分析技巧,导出了系统渐近本征方程的递推表达式.通过证明系统的Riesz基性质,得到谱确定增长条件成立.从而按照与发展相反的顺序对渐近递推表达式作下确界估计,给出了变系数树形波网络指数稳定性分析的简单方法,并证明了系统在边界控制下的指数稳定性.
3.针对复杂一维波网络,提出了反馈控制器的设计方法—“删边”方法,使控制器设计和稳定性分析同时完成.该方法基于微分方程解的唯一性理论和图论中的删边方法,但并非其简单应用.以bush-型波网络为例,利用谱分析方法从数学上严格论证了“删边”方法的正确性,并给出了详细的“删边”过程.表明若在所有边界节点处和回路的至多三个适当位置施加控制器,可使bush-型波网络渐近稳定.“删边”方法也适用于其他类型复杂一维波网络的控制器设计.
4.研究了三边树波网络在反馈增益常数不满足Riesz基生成假定时的稳定性.利用谱分析方法得到了系统谱的显式表达式,它们分布在左半复平面的竖直线上,但分析表明系统的本征向量在状态空间中不完整.然而,系统的状态空间可以分解为系统算子的谱子空间和另一个无穷维不变子空间的拓扑直和.在谱子空间中,系统的解可以按照本征向量展开,从而指数稳定;在另一个子空间中,相应的半群超稳定,即解在有限时间内衰减到0.特别地,给出了系统的能量衰减率和解的超稳定部分存在的最长时间.
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