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对称锥和齐次锥上非单调互补问题的理论和算法

卢楠  
【摘要】:对称锥互补问题是通常意义下的互补问题,二阶锥互补问题和半定互补问题的推广,它内容新,涵盖面宽,理论丰富,学术价值高且有广泛应用背景,自从上世纪九十年代以来,已经成为国际上相当活跃的研究热点.齐次锥互补问题作为对称锥互补问题一个自然的推广,也已经引起众多优化学者和专家的广泛兴趣和高度重视.本文主要利用欧氏若当代数和T-代数技术,针对非单调的对称锥和齐次锥互补问题,从理论和算法两个方面进行研究. 首先,在求解非单调对称锥互补问题的算法方面,本文做了以下两个工作:首次应用光滑牛顿算法求解两类非单调对称锥互补问题–CartesianP_*(κ)-对称锥线性互补问题(Cartesian P_*(κ)-SCLCP)和Cartesian P0-对称锥线性互补问题(Cartesian P0-SCLCP).对于Cartesian P_*(κ)-SCLCP,在解集非空的假设下,证明光滑牛顿算法全局收敛.在一个新的假设下,证明了这个算法全局线性收敛.这个收敛性结果,即使是在n空间上,也是一个新的结果.对于Cartesian P0-SCLCP,借助欧氏若当代数技术,证明了光滑牛顿算法中牛顿方程可解以及变换H(μ,x,s)关于(x,s)强制,从而保证了算法适定和全局收敛,在弱的假设条件下,我们还证明了算法局部二次收敛. 其次,基于Tao和Gowda引入的欧氏若当代数上的松弛变换Rφ,本文讨论了Rφ和φ的性质之间的对应关系,建立了一系列充要条件,为进一步研究非单调对称锥互补问题提供了一定的理论基础.文中讨论的性质包括连续性,(局部)Lipschitz连续性,方向可微性, (连续)可微性,半光滑性,单调性,强单调性, P0-性质,一致P-性质等. 最后,针对定义在T-代数上的非线性变换,本文引入了各种w-P性质(如order w-P性质, Jordan w-P性质等)以及w-唯一性,利用T-代数这个理论工具,研究了这些w-P性质之间以及它们和w-唯一性之间的关系,并讨论了两个特殊的变换:松弛变换和自伴线性变换,最后给出了齐次锥互补问题存在有限w-解的一些条件.


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