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关于椭圆算子的三类问题的算法

赵建勋  
【摘要】:关于含有椭圆算子(即Laplace算子)的问题无论从理论发展上还是实际应用上都有着十分重要的地位.本文研究了三类与椭圆算子相关的问题的算法. 首先,对椭圆方程自由边界值问题提供了一种算法.人们在研究等温反应时要考虑反应物的浓缩度的变化,于是得到了一个非齐次的Laplace方程,我们需要寻找它的非负解.由于有未知边界的存在,直接求这个问题的解是非常困难的,但是这个问题可以转化为一个互补问题.这个互补问题包含一个M-矩阵和一个对角函数,本文利用M-矩阵和对角矩阵的特性,设计了一个算法非内点连续化方法.传统的这类算法一般需要包含一个线搜索的步骤来确定步长,而在本文中去掉了线搜索,每一个迭代步都使用的是全步长,这是一个新的方式.数值试验表明这个算法有着非常好的效果. 其次,对一类椭圆方程的最优控制问题提供了算法.与已有的文献不同的是问题中的目标函数中存在一个L~1范数项,而这一项是不可微的.我们把这个问题转化为一个非光滑的方程组.本文引入了符号函数的近似函数光滑函数,然而本文并没有直接使用这个光滑函数,而是利用光滑函数的极限的性质设计了一个稼接算法.这个算法分为两个部分.第一个部分是不动点方法的变形,单独使用这个部分可以得到全局收敛,但是为使收敛的速度加快,当序列靠近真实解时,开始启用算法的第二部分,从而加快了迭代序列收敛的进程.这个算法既保证了全局收敛同时也具有局部的平方收敛的性质. 最后,对一类椭圆-双曲方程的最优控制问题提供了算法,而约束条件是混合的控制-状态约束.对于这种混合的约束,本文通过使用Slant函数来寻找牛顿方向,这种算法属于半光滑算法.但是由于是混合型的约束,应用一般的半光滑算法的理论是有困难的.本文重构了优化条件,并且利用Lagrange乘子找出原问题的对偶问题,通过对偶问题可以得到一个等价的非光滑方程组.本文利用Slant函数设计了半光滑算法,而且对算法的收敛性进行了分析并且得到了局部快速收敛的性质.


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