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高维非线性系统的分岔和混沌控制

梁建术  
【摘要】: 自上世纪60年代以来,非线性科学是研究各个不同学科中非线性现象共性 的一门国际前沿学科,它是在以非线性为特征的各门分支学科的基础上逐步发 展起来的综合性学科,非线性科学被誉为20世纪自然科学的“第三次大革命”。 非线性动力学是非线性科学的主要研究内容之一,虽然许多学者对系统的非线 性动力学的研究取得了一些成果,但是对于实际工程来说,仍有大量的问题未 能解决。 本论文所研究的内容隶属于国家自然科学基金重大项目“大型旋转机械非 线性动力学问题”(19990510)的第二子课题―¨D多自由度非线性动力学理论。 和国家重点基础研究专项经费资助项目“我国电力大系统突变防治和经济运行 的重大科学问题研究”的子课题“非线性动力学系统的稳定性理论与复杂动力 学行为分析”。 全文工作如下: 在第一章中,我们总结了当前国内外学者对全局分岔、混沌控制以及分岔 控制研究的现状,掌握了最新的研究动态和研究方法。对论文工作提出了研究 方案。 在第二章中,根据拉格朗日方程,建立了一类刚柔耦合系统的动力学方程。 在非线性项内既有平放项,也由立方项。 在第三章中,首先应用多尺度方法得到了1:2内共振时的平均方程,再经 过一系列变换,得到了一个四维近似可积的哈密顿系统,当系统参数满足一定 参条件时,无摄动结构中总是存在两个异宿轨道相连的鞍点。根据高维 Melnikov方法,通过将积分看成是一些离散点的极限来处理,研究了产生Smale 意义下马蹄型混沌的系统参数的阀门值。 在第四章中,根据能量-相位准则以及纤维丛理论,研究了哈密顿共振情 况下的Silnikov轨道的存在性。得到了这类系统存在Silnikov轨道的必要条 件。 在第五章中,根据能量差函数、能量序列以及脉冲序列,研究了在哈密顿 I WP=5 摄动和非哈密顿摄动情况下的多脉冲跳跃轨道和同宿树。研究表明在无阻尼情 况,存在多脉冲Smale马蹄型;在有阻尼情况,在简约耗散系统中两个不稳定 平衡点之间存在着多脉冲跳跃异宿轨道。在两种情况下存在着描述多脉冲解反 复分岔的同宿树。 在第六章中,基于Pyragas方法,提出了两种修正方法。一是应用压缩相 空间法对Pyragas方法进行了改进。二是自适应延时反馈方法,即在控制过程 中,可根据系统的当前状态自适应地选取延时反馈时间和反馈增益系数。该方 法与原始的Pyragas相比,不仅能在很短的时间内将系统控制到期望的周期过 道上,而且具有很强的抗噪声能力。该方法既适用于系统的状态变量的混沌控 制,也适用于系统参数的混沌控制。 在第七章中,根据相空间重构理论,研究了未知高维系统的的混沌控制, 首先通过测量的信号重构出未知系统的相空间结构。然后将原始的OJ方法进 行了推广,研究了不稳定周期轨道的控制。结果表明多参数控制具有良好的控 制效果和鲁棒性。 在第八章中,根据C-L方法,提出了一种周期分岔解的鲁棒控制方法。完 善了分岔控制理论,拓展了分岔控制的研究领域,为非线性动力学结构的优化 设计奠定了理论基础。 论文最后对全文工作进行了总结,指出了目前研究中存在的问题,并对今 后的研究热点作了展望。


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