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KK重构函数及其在求解对称锥优化问题中的应用

刘晓红  
【摘要】: 对称锥上的优化问题是一类较广的优化问题,以n中的非负锥( +n)、二阶锥(Ln+)以及半正定对称矩阵锥(S+n)上优化问题为其特例.近年来,对称锥上的优化问题日益成为国内外相关学者研究的热点.各种算法,例如:内点法,效用函数法,光滑型算法被推广来求解对称锥上的优化问题. 应用效用函数法求解对称锥上的优化问题时,强制性是效用函数的一个非常重要的性质.效用函数的强制性意味着效用函数的水平集是有界的,从而利用下降算法求解优化问题所产生的迭代序列存在聚点.本文中,基于KK互补函数,引入了KK效用函数及罚KK效用函数,并研究了它们的强制性. KK效用函数是一类较广的效用函数,文献中常用的FB效用函数和自然残差效用函数是其特例.文中得到:在一个严格弱于“F是强单调和Lipschitz连续的”的条件下, KK效用函数是强制的;罚KK效用函数是YF效用函数的推广,文中得到:在一个严格弱于“F是弱强制的”,因此严格弱于“F是强单调的”的条件下,罚KK效用函数是强制的. 基于KK互补函数,引入了KK光滑函数,它是一类广的光滑函数,文献中常用的FB光滑函数和CHKS光滑函数均是KK光滑函数的特例.借助于KK光滑函数,利用欧氏若当代数的理论,将Qi-Sun-Zhou光滑牛顿法延伸来求解对称锥上的线性规划问题(SCLP).在适当的条件下,证明了该算法是适定的.并且,在合适的假设条件下,证明了该算法是全局收敛的.进一步,在增加了一个非奇异性假设下,证明了该算法是局部二次收敛的.给出了该算法的数值计算结果,并且和内点算法的数值计算结果做了比较,结果是令人满意的. 基于KK互补函数,引入了正则化的KK光滑函数族.借助于该光滑函数族,利用欧氏若当代数的理论,将一个具有非单调线搜索的光滑牛顿法延伸来求解对称锥上的广义互补问题(GSCCP).首先考察了重构函数H ?τμ的强制性;利用H?τμ的强制性,证明了在适当的假设条件下,该算法是全局收敛的;进而,在增加一个非奇异性假设下,证明了该算法是局部超线性收敛的.


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