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Hilbert空间中Lorentz锥线性互补问题的理论研究

苗新河  
【摘要】: 在有限维欧氏空间中,锥线性互补问题是国内外研究的一个热门课题.特别是利用欧氏若当代数技术来研究锥线性互补问题,受到国内外许多专家们的密切关注.然而,到目前为止,运用若当代数技术对无限维Hilbert空间中的锥线性互补问题进行讨论和研究仍然处于一个初级阶段.本博士论文对此问题作出进一步的理论研究.具体研究内容如下: 首先,在无限维Hilbert空间中,给出元素的若当乘积的概念以及空间中二阶锥的表达形式.进一步研究了若当乘积和二阶锥中的元素所具有的一些性质;此外,也给出了无限维Hilbert空间上有关各类线性算子的概念,同时探讨了这些线性算子之间的内在联系. 其次,在无限维Hilbert空间中,针对线性算子具有行充分性和列充分性的性质,本文分别研究了相应的等价条件,即对于线性算子的行充分性,得到了对应的二次规划的KKT点就是二阶锥线性互补问题解的一个等价条件;对于线性算子的列充分性,建立了二阶锥线性互补问题的解集(若解集非空)是一个凸集的充分必要条件.所得的结论均是有限维欧氏空间中相应结论的推广形式. 再次,本文初次建立起无限维空间上有界线性算子具有的P-性质与二阶锥线性互补问题的解之间的关系,并建立了有界线性算子具有全局唯一可解性的几个充分条件、必要条件以及充分必要条件.所得的这些结论是有限维欧氏空间到无限维Hilbert空间中锥线性互补问题的一种推广形式. 最后,相应于有限维欧氏空间上锥线性互补问题w-解的性质,本文在无限维Hilbert空间中讨论了二阶锥线性互补问题w-解的相关性质.得到了线性算子在具有单调性的条件下,有界线性算子具有w-唯一性的一些等价条件.此外,还得到了关于Hilbert空间H上的类似Lyapunov变换具有的w-唯一性和w-P性质的一些相关结论.这些结论均与有限维欧氏空间中有关结论相吻合.


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