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运用同伦理论求非线性动力系统的近似解

闫晓芳  
【摘要】: 随着社会和科学技术的发展,非线性系统动力学问题的研究越来越重要,当前,对非线性动力系统的研究绝大多数集中在对弱非线性系统的研究上,但是应当看到,在系统不含有小参数的所谓强非线性动力系统的研究还很少见到,更没有一般普适的方法。对于此类方程,本文将同伦理论应用到非线性动力系统中,运用基于参数展开的同伦分析法和同伦摄动法,并结合线化法、参数展开法、改进的Lindsted-Poincare法等来求解强非线性动力系统问题。已有的算例充分说明了同伦理论在非线性动力系统研究中的有效性和潜力。文章具体内容如下: 第一章,介绍了非线性动力系统的发展现状,总结了强非线性动力系统和海气振子ENSO模型的研究现状,并简单介绍了同伦理论的基本思想和发展史; 第二章,介绍了同伦分析法的基本思想,并运用基于参数展开的同伦分析法(PE-HAM)分别求解了具有五次非线性项的保守Duffing系统和带有激励项的强非线性耗散振动系统的解析近似解,并把近似解与精确解进行了数值模拟,证明了所得结果具有很高的精确性; 第三章,文章首先运用同伦摄动法(HPM)结合线化法提出了一套系统化,规律化的解法,并将其应用到求解强非线性振动问题的近似周期和近似解,同时推导出一类Duffing方程的近似周期的公式,并证明了用该方法求出的一阶近似解也具有较好的精度。其次又将同伦摄动法和参数展开法有效结合,并求解了一类强非线性振动问题,所得结果与精确解相比较显示了很好的精确性; 第四章,文章将同伦映射引入到求解ENSO海气振子模型当中,在一定条件下,从数学和物理学的角度,结合参数展开法和同伦摄动法成功地求解了两类ENSO海气振子模型的近似解。求出了相应系统的近似解,就可用定量的方法了解ENSO海气振子机理的异常变化,可以较直接地讨论某些相关物理量的定量方面的特征,发现其规律,从而进一步去了解它,并预报它的规律; 最后在第五章给出了全文的总结和要进一步展开的研究。


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