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几类具有时滞的微分系统的分岔分析

谭军  
【摘要】:关于时滞微分方程分岔问题的研究至今仍是一个热点课题.时滞微分方程在自然科学,工程技术和社会科学等诸多领域广泛存在,它促进了各个领域科学研究的发展.分岔问题是非线性微分方程和动力系统研究中的一个重要组成部分,出现结构不稳定现象的系统是其主要研究对象.对各种分岔现象的研究不仅有助于完善数学领域中的相关理论和方法,而且对生物数学和生命科学等领域的研究有重要的推动作用.为了研究几类具有现实生物意义模型的动力学行为,得到系统在平衡点附近的轨道拓扑结构,本文主要利用中心流形定理,正规形理论,Lyapunov-Schmidt约化方法,稳定性理论以及分岔理论研究了三类具有时滞的微分系统的分岔问题.首先研究了一类具有时滞的云杉蚜虫种群阶段结构模型的动力学行为.讨论了系统正平衡点的存在唯一性,并分析了平衡点的局部稳定性以及出现Hopf分岔的充分条件.利用中心流形定理和正规形理论,讨论了分岔周期解的稳定性及方向.通过数值模拟验证了相关结论的正确性.其次利用Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论,研究了一类中立型神经网络模型的动力学行为.证明了系统在平衡点处出现Hopf分岔现象,得到了分岔周期解的近似解析表达式,并进行了误差分析.最后研究了一类具有双时滞的基因调控网络模型的动力学行为.讨论了系统正平衡点的存在情况,并给出在正平衡点处发生B-T分岔的条件.利用普适开折,正规形和中心流形等相关理论,将靠近正平衡点的动力学行为转化为研究限制在中心流形上正规形的动力学特征.对所得结果进行了数值模拟,给出靠近B-T分岔点的分岔曲线,并得到相应的分岔图.本文所得结论对维持生态平衡,遏制蚜虫种群量无限制增长导致的疫情爆发并提供有效地控制措施极为重要.完善了基因调控网络系统的动力学性质,加深了对基因功能的理解,对工程应用具有潜在的意义.并为某些高维或者无限维复杂非线性系统的精确解求解困难时,提供了一种有效解决方式.


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