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渗流、岩裂、飞蚁模型的实空间重整化群方法研究

石少波  
【摘要】: 相变和临界现象是凝聚态物理学和统计物理学中十分活跃和重要的研究领域。 分形概念的引入揭开了相变研究的新篇章。分形是具有自相似对称性的几何图形,可用来模拟自然界中在一定尺度范围内具有自相似对称性的不规则结构,如Koch曲线可用来模拟海岸线,渗流模型可模拟金属绝缘体混合物,自回避无规行走模型可模拟线性聚合物,岩裂模型可模拟真实岩体的脆性破裂等。 重整化群方法已被证明是一种研究该类问题较为有效的方法。这种方法的依据是:系统发生相变时,对临界行为起作用的不是小尺度行为,而是大尺度行为(关联长度无穷大)。因而,系统的一些微观细节(小尺度行为)变得不重要。该方法假定在标度变换下系统的结构不变,讨论在长度标度l与λl下系统结构的关系。它回避了直接求配分函数,而代之以研究使配分函数保持不变的变换,这些变换构成所谓重整化群。然后找出重整化变换的不动点,在所有不动点中那些不稳定不动点是发生相变的临界点。实空间重整化群方法与分形有密切的关系,在不具有哈密顿的几何相变系统,如渗流,岩裂,自回避无规行走等模型广泛地被应用。 本文利用实空间重整化群方法对渗流、岩裂、飞蚁模型进行了研究。我们的主要工作如下: 1.重整化群方法处理渗流模型时,“导通”规则的选取至关重要,我们定义一个描述“导通”规则的系数(简称规则系数)。在此基础上,给出一个经验公式72/n+3/8(Z-6)=R,由此可通过格子的配位数来确定立方格子点渗流模型重整化 渗流、岩裂、飞蚁模型的实空间重整化群方法研究 群方法研究中“导通”规则选取方式。依据该原则选取“导通”规则,分析kadanoff 元胞“导通”情况,得出三种格子(SC、BCC、户℃C)不动点方程,从而解出 临界值p。和临界指数v。接着,我们就简立方格子点渗流模型引入“鬼”场,求 得了全部的临界指数。由普适性理论知,这些指数应该是三维近邻点渗流模型的 临界指数。另外,我们采用位置空间重整化群方法,对二维次近邻三角格子键渗 流模型进行了研究。 类似与渗流模型,就岩裂模型我们提出岩裂规则系数的概念。在此基础上,对该 模型进行了研究。得到一些有趣的结论。 我们提出了一种新的自回避行走模型(飞蚁模型),用重整化群方法计算了该模 型的临界值和分形维数分别为Kc=0.545069、D=0.814909。接着,和真实自回 避行走(TSAw)模型的结果相比较说明了所得结果的合理性。 最后,得出结论并就本文以后的工作做了一些展望。


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