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算子的强不可约积分表示及其相似不变量

石瑞  
【摘要】:在算子理论中,寻找算子的相似不变量一直是颇受关注的问题.我们知道在有限维的复的Hilbert空间上,Jordan标准型定理成功的刻画了算子的相似不变量.正是因为这样,Jordan矩阵被看成是构造有限维Hilbert空间上算子的基本单元.而由此也引出了人们对约化理论的探索. 在复的可分的Hilbert空间上,有界线性算子的结构就变得复杂的多.人们一直在尝试用各种办法对Jordan标准型定理进行推广,其目的就是希望使有界线性算子的内在结构变得更清晰.人们在研究中遇到了各种问题,同时也取得了很多进展.在本文的引言中,我们详细的介绍了这一研究的发展过程,以及不同学派取得的进展.需要指出的是上世纪七十年代末,江泽坚提出使用强不可约算子来代替复可分的Hilbert空间上的Jordan矩阵.同时他也指出存在有界线性算子不能写成强不可约算子的直接和.此后由蒋春澜带领的的学术梯队围绕强不可约算子展开了相关的研究.在此后的三十年中,这个学术梯队不断的取得进展. 本文的主要工作正是在上述学术梯队的工作的启发下展开的.我们知道有限维Hilbert空间上的对角算子(1维空间上算子的直接和)可以看成是积分的离散形式.推而广之,我们可以将有界线性算子的直接和看成有界线性算子的直接积分.这种概念上的推广使得我们需要引入测度论和von Neumann代数的相关理论.承接前面的工作,我们开始考虑是否每个有界线性算子都可以写成强不可约算子的直接积分?我们发现仍然存在有界线性算子不能写成强不可约算子的直接积分. 在本文的第一章中,我们构造了两个不能写成强不可约算子的直接积分的有界线性算子的例子.进而我们证明了一个Hilbert空间上的有界线性算子A相似于强不可约算子的直接积分当且仅当在算子A的换位代数中存在一个有界的极大交换的幂等算子的集合.应用这一充分必要条件,我们在第一章的最后举例说明了哪些算子类中的算子可以相似于强不可约算子的直接积分.同时我们也指出全体可以相似于强不可约算子的直接积分的算子组成y(ye)的一个稠子集. 在本文的第二章中,我们指出在复可分的无穷维Hilbert空间上,单位算子的强不可约分解不具有相似意义下的唯一性.由这个特例我们可以构造一般的非正规算子的例子,使得这种非正规算子的强不可约分解在相似意义下不具有唯一性.由此我们给出并证明了一个有界线性算子的强不可约分解在相似意义下唯一的必要条件.在讨论中,我们引入了算子矩阵的上三角表示,这种表示不仅简化了相应结果的证明过程而且使得一些问题变得很直观.我们发现在算子矩阵的上三角表示中,主对角线上的乘法算子的重数函数与强不可约分解的唯一性具有重要关系,同时第一条上次对角线上的乘法算子的可逆性与直接积分分解的强不可约性也具有直接关系.进而我们证明了一类有界线性算子其强不可约分解在相似意义下是唯一的.在这一章的后两节中,我们针对算子矩阵上三角表示中第一条上次对角线上的乘法算子的可逆性分别进行了讨论.通过比较,我们可知当第一条上次对角线上的乘法算子均可逆时,我们得到了更好的结果.本文针对Jordan标准型定理的存在性与唯一性分别进行了推广,并对一类有界线性算子建立了复可分的无穷维Hilbert空间上的Jordan标准型定理.


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