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多线性算子及其交换子的加权不等式

薛丽梅  
【摘要】:Calderon和Zygmund在上世纪五十年代创立了奇异积分算子理论,发展了Rn上Fourier分析的实方法.此基础上,经过近几十年的研究,调和分析理论不断发展,先后建立了加权理论、多线性理论、齐型空间与非齐型空间上的调和分析等理论,并被广泛应用于偏微分方程、多复变函数、位势理论、算子理论、非线性分析等数学领域中. Hardy-Littlewood极大算子M、奇异积分算子T及分数次积分算子Iα及其交换子是调和分析中最重要的几类算子,主要探讨它们在Lebesgue空间Lp(Rn),Lp,∞(Rn), Hardy空间Hp(Rn)以及其它函数空间上的有界性问题Muckenhoupt在1972年研究了Hardy-Littlewood极大算子M在加权空间Lp(ω)(p1)上有界时权函数ω的特征为权函数ω满足Ap条件,Hunt, Muckenhoupt与Wheeden, Muckenhoupt与Wheeden, Coifman与Fefferman分别给出了Hilbert变换、分数次极大函数、分数次积分及奇异积分算子的加权模不等式,1982年Sawyer研究了Hardy-Littlewood极大算子M的双权不等式.研究各种算子的加权不等式逐渐形成了系统的理论,成为调和分析理论中的重要组成部分. 多线性Calderon-Zygmund算子是在上世纪七十年代Coifman和Meyer开始研究的.由于多线性奇异积分算子在偏微分方程研究中的广泛应用,多线性理论近年来成为调和分析研究的热点.2002年Grafakos和Torres对多线性Calderon-Zygmund算子做了系统的研究,2009年,Lerne、Ombrosi、Perez, Torres和Trujillo-Gonzalez给出了多线性Hardy-Littlewood极大算子以及与多线性Calderon-Zygmund算子相应的多重权Ap→的定义,建立了多线性算子的加权理论,解决了Grafakos和Torres提出的关于多线性算子加权的公开问题,极大地推动了多线性算子加权理论的研究.此后,Moen、Chen与Xue、Pradolini等人对多线性分数次极大算子与多线性分数次积分算子及其交换子得到了各种形式的加权不等式,Bernardis、Hartzstein与Pradolini研究了多线性位势型算子及其交换子的加权不等式. 调和分析多线性算子的加权理论目前已取得许多成果,与线性算子的加权理论相比还不完善,还有很多问题需要研究.本文探讨了四方面的问题:一是多线性极大算子和多线性分数次极大算子的双权不等式;二是多线性分数次积分算子与BMO函数构成的交换子的加权有界性;三是多线性分数次积分算子与BMO函数构成的迭代型交换子的加权有界性;四是极大多线性Calderon-Zygmund奇异积分算子的加权有界性. 本文由六章组成,主要内容如下: 第一章中,我们概述了调和分析多线性算子理论的发展历史与研究现状,给出了本文用到的一些预备知识,如记号、基本概念和重要的引理、定理等. 第二章中,我们给出了多线性极大算子和多线性分数次极大算子的双权强型和弱型不等式的Sawyer型充分条件.这些结果推广了Sawyer定理和其它一些著名结果. 第三章中,我们给出了多线性分数次积分算子与BMO函数构成的交换子的L log L型加权端点估计,推广了Cruz-Uribe与Fiorenza关于分数次积分算子交换子的相关结果.此外还给出了此交换子的加权强型不等式,改进了Chen与Xue的结果. 第四章中,对多线性分数次积分算子与BMO函数构成的迭代型交换子,我们研究了双权强型有界性,给出了此迭代型交换子的Fefferman-Phong型不等式.还给出了此迭代型交换子的Fefferman-Stein型加权不等式和Coifman型加权不等式. 第五章中,对多线性分数次积分算子与BMO函数构成的迭代型交换子,我们给出了L log L型加权端点估计结果. 第六章中,我们给出了极大多线性Calderon-Zygmund奇异积分算子的sharp极大函数估计和一些加权不等式.


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