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关于柯克曼三元系的大集

雷建国  
【摘要】: 在1850年,T.P.Kirkman提出了下列问题:十五个女学生每天排成三列出去散步,能否在一周内使得任意两人不在同一行出现两次。在同一年,J.J.Sylvester进一步提出:这样的安排能否连续安排13周,使得任意三人不在同一行出现两次。这就是著名的Sylvestev 15个女学生问题,这一问题直到1974年才被R.H.F.Denniston借助计算机解决。 “Sylvester 15个女学生问题”是有史以来提出的第一类组合设计的大集问题,这一问题的一般情形(不限制点数为15)称为不相交的柯克曼三元系大集(LKTS)。对这一问题的研究进展一直很慢,到1979年底,Denniston给出了几个小阶数的直接构造及LKTS(v)→LKTS(3v)的递归构造(还需一个附加条件);期间,S.Schreiber给出了LKTS(33)的构造。这样通过Denniston的3倍构造可以得到一些LKTS存在的无穷类。至此,对柯克曼三元系大集的研究几乎没有新的进展,尤其是再也没有得到新的递归构造。在本文中,我们通过引入广义柯克曼系大集(LGKS)和柯克曼frame超大集的概念(OLKF),给出了柯克曼系大集新的递归构造和存在结果。我们的主要结论是: (1)存在LKTS(v),这里 (2)如果对于存在和则对任意的v≡3(mod 6), v≠21存在LKTS(v)。


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