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时标上动力方程非振动解的存在性和解的振动性研究

董文雷  
【摘要】: 微分方程和差分方程是用来描述自然现象变化规律的一种有力工具。随着科学技术的进步与发展,微分方程和差分方程出现在许多重要的应用领域,包括物理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学和经济学等。由于寻求其通解十分困难,有时甚至是不可能的,故从理论上探讨方程解的性态一直是近年来研究的热点问题。微分方程经过离散化后引出差分方程。经验表明,微分方程的许多性质经过离散化后保留了下来,但是,也存在具体方程表明微分方程与其相对应的差分方程具有着完全不同的性质,而对于非线性方程来说,二者的差异有时会更大。这种可能的差异导致了人们对微分方程和它们相对应的差分方程进行着重复的研究;有时所研究问题当中既有连续的成分,又有离散的成分,甚至于此类问题到底是属于连续问题还是属于离散问题,我们并不是很清楚,这给我们的研究带来不便;在结构上,微分算子和差分算子十分类似。因此,能否找到一个新的理论框架,将连续系统与离散系统统一起来进行研究,从而避免不必要的重复工作,且能更好的洞察不同系统之间的本质差异,已是当前科学研究的当务之急。时标理论正是统一研究连续和离散两种系统的理论,它开辟了数学研究的新领域。由于时标理论的显著特点是统一与推广,因此对这一理论的研究有着重要的理论意义和实际应用价值。 论文分别就时标上动力方程正解的存在性、动力方程解的振动性、时标上偏微分方程正解的存在性以及差分方程有界非振动解的存在性进行了研究。本文共由五个部分组成,主要内容如下: 第一部分,概述了时标上动力方程的应用背景和国内外研究现状,这一部分也包括一些预备知识,如有关时标的基本概念、引理和重要的不动点定理。 第二部分,研究了时标上一类高阶非线性中立型动力方程正解的存在性。依据动力方程中函数具备单调性条件或者满足Lipschitz条件,分别从这两个条件出发,通过构造适当的Banach空间中的闭凸子集以及相应的全连续映射,运用Krasnoselskii不动点定理和压缩映射原理,建立了方程正解存在的判定准则,并根据函数所满足的不同条件给出了相应的实例。 第三部分,讨论了时标上一类高阶非线性中立型偏微分方程正解的存在性。依据方程中函数所满足的单调性,通过构造适当的Banach空间中的闭凸子集以及相应的全连续映射,运用Krasnoselskii不动点定理,建立了方程正解存在的判定准则,给出了实例。 第四部分,考虑了时标上一类二阶非线性中立型动力方程的振动性。通过两类动力方程之间的比较方法,得出了方程的解振动的充分条件。 第五部分,研究了三类具有正负系数的高阶非线性中立型差分方程有界非振动解的存在性。通过构造有界实数序列构成的Banach空间中的闭凸子集和相应的连续映射,运用Schauder及Krasnoselskii不动点定理,获得了方程有界非振动解存在的判定准则。


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