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离散映射的动力学行为

曲蛟  
【摘要】: 混沌动力学是一门新兴学科,起源于20世纪初,形成于20世纪60年代,在混沌动力学理论的研究中,各种混沌现象不断被发现,如:天气的变化,神经元网络中的混沌,心脏的跳动等,混沌几乎存在于一切科学领域,尤其是在物理学、数学、流体力学、经济学、生物学等方面广泛存在有混沌。混沌理论在信息科学、医学、生物、工程等领域具有非常广泛的应用价值。因此,对混沌动力学的研究,进而对混沌进行应用和控制具有非常重要而深远的意义! 混沌具有四个主要特征:1)对初值敏感性;2)伸长和折叠;3)存在奇怪吸引子;4)具有丰富的层次和自相似结构。伸长和折叠这一特性,在数学上,通常用Baker变换表示,本文采用二进制、三进制进而到N进制分别研究了动力学参数为2,3, N时的二维Baker变换的动力学行为,指出在初始值取有限位小数、循环小数和无理数时,初值的轨道将分别收敛于不动点、周期性轨道和处于混沌状态;然后把二维的Baker变换扩展到三维空间,研究了其动力学特性,并举例说明了Baker变换在图像加密中的应用。最后,采用二进制研究了参数为2时帐篷映射的动力学行为,指出当初始值取有限位小数、循环小数和无理数时,经帐篷映射变换后,初值的轨道分别收敛于0、周期性轨道和处于混沌状态。而后采用三进制研究了参数为3时帐篷映射动力学特性,初始值为三进制的小数,若初值中不含有数字1,则其动力学特性和二进制时相同。若初始值小数中含有数字1,且数字1不是最后一位,则经帐篷映射变换后将是逃逸的点集;若三进制小数中含有1,且只有最后一位小数为1,则该小数的轨道最后将收敛于0。最后讨论了帐篷映射和康托集的关系,说明了确定性和随机性之间的联系。


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