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φ-Laplace方程解的存在性和多解性

杨慧芬  
【摘要】:近年来,含有非线性算子的微分方程越来越受到人们的关注,且在各类边值问题解的存在性和多解性方面获得了一系列有意义的研究结果.在一些文章中,人们研究了p-Laplace算子这类非线性算子,也即φp(s)=|s|p-2s,p1.(参见文献[16]-[34]).在另外的一些文章中人们研究了作为p-Laplace算子的推广,φ-Laplace算子.(参见文献[12]-[15]).在上述文献中作者分别运用拓扑度理论,Leggett-Williams定理等工具对含有P-Laplace算子和φ-Laplace算子的微分方程的各类边值问题进行了研究,获得了许多有关解的存在性及多解性的结果.对本文有所启发值得指出的是文[5],[6],[8],[9],[13]. 文[5]中对含有p-Laplace算子的三阶Sturm-Liouville边值问题运用不动点指数的方法,得到了方程存在一个正解,两个正解的结果.在本文第一章,运用文[5]的方法进一步研究如下带有φ-Laplace算子的三阶常微分方程边值问题:其中λ≥0,φ,f满足以下条件: (A1)f:[0,1]×R→R+连续,这里R+=[0,∞); (A2)φ:(-r,r)→R是递增的同胚的奇函数,φ(0)=0. 运用类似文[5]的方法将微分方程边值问题转化为算子方程,分别得到如下主要结果: 定理1.3.2设(A1),(A2)成立,令b,c0且bmin{m/l,σ}c,其中的c使得φ(mc) 4φ(lb),mcr,0σ1.若f满足下列条件: (H1)f(t,x)≥4φ(lb),(t,x)∈[1/4,3/4]×[b,b/σ]; (H2)f(t,x)≤φ(mc),(t,x)∈[0,1]×[0,c].其中则问题(1.1.1)至少存在一个正解u*,且‖u*‖≤c,(?)u*(t)b. 定理1.3.3设条件(A1),(A2)成立,若f满足下列条件: (H3)f0=f∞=∞; (H4)存在ρ0,使得f(t,x)φ(mρ),t∈[0,1],x∈[0,ρ].其中m同(H2)中,l同(H1)中,则问题(1.1.1)至少存在两个正解u1,u2,且有0‖u1‖ρ‖u2‖. 文[13]中运用Leray-Schauder度理论对φ-Laplace方程边值问题进行研究,获得了解的存在性的结果;文[6]运用Avery-Peterson不动点定理对p-Laplace方程边值问题进行研究,获得了存在多个正解的结果.受文[13],文[6]的启发,本文第二章中进一步研究如下φ-laplace方程边值问题:其中φ,f,9满足以下条件: (B1)f:[0,1]×R×R→R+连续,这里R+=[0,∞); (B2)φ:(-d,d)→R是递增的同胚的奇函数,φ(0)=0; (B3)g:R→R+连续,且对某个k≥1,有g(v)≤k|v|,v∈R. 得到如下结果: 定理2.3.1设(B1),(B2),(B3)成立,令0ab≤δd/(k+1),其中δ∈(0,1/2).若f满足下列条件: (H5)f(t,u,v)≤φ(d/2),(t,u,v)∈[0,1]×[0,(k+1)d]×[-d,0]; (H6)f(t,u,v)φ(b/δ)/(1-δ),(t,u,v)∈[0,1-δ]×[b,b/δ]×[-d,0]; (H7)f(t,u,v)φ(a/(1+k)),(t,u,v)∈[0,1]×[0,a]×[-d,0].则问题(2.1.1)至少存在三个非负解u1,u2,u3,且有


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