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4元n方体完美匹配的若干性质

郁文娟  
【摘要】:具有许多优良特性的k元n方体是应用非常广泛的互连网络之一.k元n方体Qnk(k≥2,n≥1)的顶点集y(Qnk)={u0u1…un-1:0≤ui≤k-1,0≤i≤n-1},两个不同的顶点u=u0u1…un-1和v=v0v1…vn-1相邻当且仅当存在一个整数j∈{0,1,…,n-1},满足uj=vj±1(mod k)且ui=vi,i∈{0,1,…,n-1}\{j}此时称(u,v)为一条j维边.若删去Qn4的所有j维边,其中,j∈{0,1,2,…,n-1},得到四个4元n-1立方体,分别设为Q[0]、Q[1]、Q[2]和Q[3]. 设M是E的一个子集,它的元素是G中的边,并且这些边中的任意两个在G中均不相邻,则称M为G的匹配.若匹配M的某条边与顶点v关联,则称M饱和顶点v,并且称v是M饱和的,否则称v是M非饱和的.若G的每个顶点均为M饱和的,则称M为G的完美匹配. 图G的匹配图记为M(G),它的顶点集是G的所有完美匹配的集合,两个顶点相邻当且仅当两个顶点对应的完美匹配的并构成G的一个Hamilton圈.因此,M(G)的顶点与G的完美匹配是一一对应的. 在网络暴露攻击中会用到完美匹配,当通过一个混合阈值追踪一个信息时,完美匹配暴露攻击会起很大的作用.在一些网络连通问题中,匹配排除也起着关键作用.在本文中,我们主要研究4元n方体的完美匹配的一些问题.本文共分三章: 第一章中,介绍一些本文将会用到的有关图论的基本概念. 第二章中,研究4元n方体的一个匹配扩展成完美匹配的问题.主要结果如下: (1)设M是Qn4的任意一个匹配,且M中所含边的数目不多于2n-1,则M可扩成Qn4的一个完美匹配,且该结论是最优的. (2)设M是Qn4的任意一个匹配,M中所含边的数目不多于2n-2,则存在d∈{0,1,…,n-1},使得M中至多有一条d维边.删去Qn4中所有d维边得到4个4元n-1方体,记为Q[0],Q[1],Q[2],Q[3]若x,y是某个Q[i]中两个未被饱和的顶点,i∈{0,1,2,3},满足x,y之间的距离为奇数,则M可以扩成Qn4\{x,y}的一个完美匹配. 第三章中,研究4元n方体的匹配图的一些性质.主要结果如下 记[n]={0,1,…,n-1}.对任意α∈[n],记Inα1={(u0u1…uα-11uα+1…un-1, u0u1…uα-12uα+1…un-1)|ui∈[4],i∈[n]\{α}∪{(u0u1…uα-10uα+1…un-1,u0u1·uα-13uα+1…un-1)|ui∈[4],i∈[n]\{α}},Inα2={(u0u1…uα-12uα+1…un-1,u0u1·uα-13uα+1…un-1)|ui∈[4],i∈[n]\{α})∪{(u0u1…uα-10uα+1…un-1,u0u1…uα-11 uα+1…un-1)|ui∈[4],i∈[n]\{α}},则Inα1和Inα2都是Qn4的完美匹配.设Inαi,Inβj是Qn4的两个完美匹配,i,j∈{1,2},α,β∈[n],则在M(Qn4)中存在Inαi)和Inβj之间的-条长至多为6的途径.


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