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标准算子代数上保持算子广义乘积边缘谱的映射

张文  
【摘要】:算子代数上的一般保持问题是研究保持算子代数中元素的某种特征不变的映射.其研究结果表明,在许多情形下,这样的映射是代数同态或代数反同态,从而揭示了算子代数的固有性质以及与其上映射的联系,使人们进一步加深对算子代数的认识和理解.一般保持问题研究的目的是寻求同构的刚性不变量,从新的角度提供算子代数的整体结构和对算子代数分类的信息.本文主要研究Banach空间标准算子代数上的保持算子广义乘积的边缘谱的映射的刻画问题,保持算子广义Jordan乘积边缘谱的映射的刻画问题以及保持Lie积边缘谱的映射的刻画问题.令A1和A2分别是复Banach空间X1和X2上的标准算子代数,σ(T),r(T)及σπ(T)={λ∈σ(T)||λ|=r(T)}分别表示算子T的谱,谱半径及边缘谱.取满足m≥κ≥2的正整数m,κ和一个给定的有限序列(i1,i2,...,im)使得{i1….,im}={1….,κ},并且假设(i1,…im)中的元素至少有一个只出现一次,则关于给定序列,对于T1,…,Tκ∈A1,如下定义的乘积T1(?)T2(?)...(?)Tk = TilTi2…Tim和T1*T2*…*Tk =ThTi2…Tim+Tim…Ti2Th分别称为算子T1,…,Tκ的广义乘积和广义Jordan乘积.当X1为Hilbert空间,算子T1,…,Tκ的广义斜乘积和广义Jordan斜乘积分别定义为:T1(?)T2(?)…(?)Tk = Ti1Ti2…Tip*…Tim和T1·T2·…·Tk = Til…Tip*…Tim + Tim…T*p…Ti1.本文主要结果如下.1.设映射Φ:A1→A2的值域包含所有秩至多为2的算子,则Φ保持广义乘积的边缘谱,即Φ满足σπ(Φ(A1)(?)…(?)Φ(Ak))=σπ(A1(?)…(?)Ak)对所有的A1,...,Ak∈A1都成立,当且仅当Φ是同构或者反同构与非零常数λ∈C的乘积,其中λm=1.在第二种情形下,X1和X2一定是自反的,并且广义乘积A1○…○Aκ是广义拟半Jordan的或κ=2.特别的,如果广义乘积不是半Jordan的且κ≥3,则Φ保持广义乘积的边缘谱当且仅当Φ是同构与非零常数λ∈C的乘积,其中λm=1.2.设Ai是复Hilbert空间Hi上的标准算子代数,i=1,2,映射Φ:A1→A2的值域包含所有秩至多为2的算子.则Φ保持算子广义斜乘积的边缘谱当且仅当Φ是*同构或*反同构与常数c∈{-1,1}的乘积.在第二种情形下,广义斜乘积A1◇…◇Ak是拟半Jordan的.此外,如果m是奇数,则c=1.3.设Ai是复Hilbert空间Hi上的自伴算子的标准实Jordan代数,i=1,2,映射Φ:A1→A2的值域包含所有秩至多为2的自伴算子.则Φ保持自伴算子广义乘积的边缘谱当且仅当Φ具有形式A→cUAU*或者A→cUAtU*,这里,U∈B(H1,H2)是一个酉算子.此外,如果m是奇数,则Φ的值域假设变成包含所有秩一投影且c=1.4.设Ai是维数≥3的复Banach空间Xi上的标准算子代数,i=1,2,Φ:A1→ A2是值域包含所有秩至多为3的算子的映射.则Φ保持广义Jordan乘积的边缘谱,即Φ满足σπ(Φ(A1) *…*Φ(Ak)) =σπ(A1*…* Ak)对所有的A1,...,Ak∈A1都成立,当且仅当Φ是同构或者反同构与非零常数λ∈c的乘积,其中λm=1,且在第二种情形下,X1和X2是自反的.5.设Ai是复Hilbert空间Hi上的自伴算子的标准实Jordan代数,i=1,2,映射Φ:A1→A2的值域包含所有秩一投影和迹为零的秩二自伴算子.则Φ保持自伴算子广义Jordan乘积的边缘谱当且仅当Φ具有形式A→cUAU*或者A→cUAtU*,这里,U→B(H1,H2)是酉算子,c∈{-1,1}.此外,如果m是奇数,则c=1.6.设Ai是维数≥3的复Banach空间Xi上的标准算子代数,i=1,2,Φ:A1→A2是值域包含所有秩至多为2的算子和恒等算子的可加映射.则Φ保持Lie积的边缘谱,即Φ满足σπ(AB - BA) = σπ(Φ(A)Φ(B) -Φ(B)Φ(A))对所有的A, B∈A1都成立,当且仅当存在满足TA1T-1(?)A2的可逆算子T∈B(X1,X2)和可加泛函h:A1→C使得Φ(A)=λTAT-1+h(A)I对所有的A∈A1都成立,其中A∈{-1,1}.


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