关于差分方程解的稳定性和振动性

【摘要】： 随着经济的发展和科技的进步，差分方程在生态学、经济学、数论以及物理等多个领域都有着广泛的应用，因此对差分方程的研究日益引起人们的普遍重视。关于差分方程解的稳定性和振动性问题，长期以来倍受国内外学者的关注，并做了大量的工作。不仅研究了一般的线性差分方程，而且对中立型的、非线性的、时滞的差分方程都做了深入研究。 本文可分为三部分，第一部分，主要讨论了一类具有正负系数的非线性中立型时滞差分方程 Δ(x_n-c_nx_(n-k))+P_nf(X_n-1)-q_ng(x_(n-r)=0，n∈N(0)， (1.1.1)解的一致稳定性，其中k，l，r∈N(1)，f，g，∈C(R，R)，且f(0)=g(0)=0；{C_n}为实数序列。{p_n}，{q_n}为非负实数序列，进而讨论了此类方程解的一致渐近稳定性，并给出了例子。当f(x)≡x，g(x)≡x时，方程(1.1.1)变为 Δ(x_n-c_nx(n-k))+p_nx_(n-1)-q_nx_(n-r)=0，n∈N(0)． (1.1.2)文[6]对方程(1.1.2)零解的全局吸引性做了具体讨论。本章结论的一些特殊情形与文[6]的结论完全吻合。 目前对脉冲微分方程解的振动性和稳定性，很多学者都进行了研究。然而对脉冲差分方程的研究成果却很少。在第二部分，我们主要讨论了一类非线性中立型脉冲差分方程零解稳定性，其中c∈(-1，1)，k,r∈N(1)，且r≥k；f：{N(0)\{n_j}}×R→R，{n_j}是一个严格单调递增的非负整数序列，I_j：R→R。 对应于(2.1.1)的非脉冲中立型差分方程 Δ(x_n-cx_(n-r))=f(n，x_(n-k))，(2.1.2)零解的稳定性条件，在文[13]中已给出。当c≡0时，方程(2.1.1)是脉冲微分方程 关于差分方程解的称定性和振动性 的离散形式，文【n，12】对(2 .1，3)的稳定性已进行了深入研究，还有许多文献对脉冲 徽分方程的稳定性进行了讨论，如文【7一101，而对脉冲差分方程的研究却十分少，仅见 文献【l‘l刀，本章结果当。二0是脉冲徽分方程11‘，‘21离散形式的相关结果.当几二0 时，本章结果即为文献【13」中的结果. 第三部分，研究了一阶变时滞非线性差分方程 二(n+1)一二(。)+p。f(:(:(。)))=0，n EN(0). (3 .1 .1) 解的振动准则，其中{p。}是非负实数序列，::N(0)”z，o簇。一《司续k， 哎为。 im:(n)== 方程(3.1.1)的特殊情形 二(n+1)一:(n)+pof(二(。一无))=0， (3 .1.2) 二(。+1)一二(。)+P。:(。一七)=0，(3 .1.3) 在文【1冬24】中已被讨论，文【l例中举反例说明了非线性方程(3.1.2)和其对应的线性 方程(3.1.3)，即使有条件 lim 钻~今0 =1， (3 .1.4) 也可能有不同的振动性.为此，我们不可能由(3 .1。3)的振动性直接导出(3.L2)的振 动性.因此，即使变时滞线性方程 :(。+‘)一x(n)+艺二(n)二(。一k‘(n))=o 的娘动性在文【25】中已被讨堆，但我们建立方程(3. LI)的振动准则还是很有必要的· 字大推广和改进了一些已有的结论·