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关于差分方程解的稳定性和振动性

杨俊仙  
【摘要】: 随着经济的发展和科技的进步,差分方程在生态学、经济学、数论以及物理等多个领域都有着广泛的应用,因此对差分方程的研究日益引起人们的普遍重视。关于差分方程解的稳定性和振动性问题,长期以来倍受国内外学者的关注,并做了大量的工作。不仅研究了一般的线性差分方程,而且对中立型的、非线性的、时滞的差分方程都做了深入研究。 本文可分为三部分,第一部分,主要讨论了一类具有正负系数的非线性中立型时滞差分方程 Δ(x_n-c_nx_(n-k))+P_nf(X_n-1)-q_ng(x_(n-r)=0,n∈N(0), (1.1.1)解的一致稳定性,其中k,l,r∈N(1),f,g,∈C(R,R),且f(0)=g(0)=0;{C_n}为实数序列。{p_n},{q_n}为非负实数序列,进而讨论了此类方程解的一致渐近稳定性,并给出了例子。当f(x)≡x,g(x)≡x时,方程(1.1.1)变为 Δ(x_n-c_nx(n-k))+p_nx_(n-1)-q_nx_(n-r)=0,n∈N(0). (1.1.2)文[6]对方程(1.1.2)零解的全局吸引性做了具体讨论。本章结论的一些特殊情形与文[6]的结论完全吻合。 目前对脉冲微分方程解的振动性和稳定性,很多学者都进行了研究。然而对脉冲差分方程的研究成果却很少。在第二部分,我们主要讨论了一类非线性中立型脉冲差分方程零解稳定性,其中c∈(-1,1),k,r∈N(1),且r≥k;f:{N(0)\{n_j}}×R→R,{n_j}是一个严格单调递增的非负整数序列,I_j:R→R。 对应于(2.1.1)的非脉冲中立型差分方程 Δ(x_n-cx_(n-r))=f(n,x_(n-k)),(2.1.2)零解的稳定性条件,在文[13]中已给出。当c≡0时,方程(2.1.1)是脉冲微分方程 关于差分方程解的称定性和振动性 的离散形式,文【n,12】对(2 .1,3)的稳定性已进行了深入研究,还有许多文献对脉冲 徽分方程的稳定性进行了讨论,如文【7一101,而对脉冲差分方程的研究却十分少,仅见 文献【l‘l刀,本章结果当。二0是脉冲徽分方程11‘,‘21离散形式的相关结果.当几二0 时,本章结果即为文献【13」中的结果. 第三部分,研究了一阶变时滞非线性差分方程 二(n+1)一二(。)+p。f(:(:(。)))=0,n EN(0). (3 .1 .1) 解的振动准则,其中{p。}是非负实数序列,::N(0)”z,o簇。一《司续k, 哎为。 im:(n)== 方程(3.1.1)的特殊情形 二(n+1)一:(n)+pof(二(。一无))=0, (3 .1.2) 二(。+1)一二(。)+P。:(。一七)=0,(3 .1.3) 在文【1冬24】中已被讨论,文【l例中举反例说明了非线性方程(3.1.2)和其对应的线性 方程(3.1.3),即使有条件 lim 钻~今0 =1, (3 .1.4) 也可能有不同的振动性.为此,我们不可能由(3 .1。3)的振动性直接导出(3.L2)的振 动性.因此,即使变时滞线性方程 :(。+‘)一x(n)+艺二(n)二(。一k‘(n))=o 的娘动性在文【25】中已被讨堆,但我们建立方程(3. LI)的振动准则还是很有必要的· 字大推广和改进了一些已有的结论·


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