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若干非线性算子的讨论及其在微分方程边值问题中的应用

翟成波  
【摘要】:在本文中,我们主要讨论两类非线性方面的内容,其一为Banach空间中的非线性算子方程,其二为非线性算子理论在微分方程边值问题中的应用。所使用的方法为半序方法及迭代技巧等。 全文共分为三章。 在第一章(概论)中,我们对几类非线性算子(α(1)-齐次算子,一类可迭代求不动点的算子,集值算子)的研究现状及我们在本文中将要做的工作进行了阐述;同时系统的介绍了用非线性知识处理微分方程边值问题的总体思路。 第二章,我们给出了几类非线性算子的不动点定理。 在§2.1中,我们在较弱的条件下给出了α(1)-齐次算子具有唯一不动点的充分条件以及齐次算子的介值性定理,这类结论和方法在可查文献中尚不多见; 在§2.2中,我们给出了一类可迭代求不动点的算子的不动点存在性定理,并应用到一类积分方程之中; 在§2.3中,我们给出了集值映射的不动点定理,得到了类似于α-凹算子的不动点存在的充分必要条件,并应用于α-凸算子的不动点存在性的证明之中。这种用集值映射来讨论α-凸算子的思想在可查文献中尚未见到; 在§2.4中,我们利用不动点指数的性质给出了C[0,1]空间中全连续算子具有非零不动点新的存在性定理,其应用改进并概括了三点、两点及m-点微分方程边值问题。 在第三章中,我们利用非线性算子理论讨论了微分方程几种边值问题正解的存在性与多解性。一定程度上深化了研究微分方程边值问题的研究方法。 在§3.1中,利用锥拉伸锥压缩定理,§2.4中的结论及锥上的多解定理讨论了如下三点边值问题: (Ⅰ) 半正三点边值问题


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