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泛函微分方程的渐近性与周期解

程利芳  
【摘要】:在许多科学领域的研究中,例如:力学,物理学,生物数学,经济数学,自动控制等。常微分方程已不能精确的描述客观事物了,许多现象都用泛函微分方程作为它们的数学模型,因此对泛函微分方程的研究引起了人们的普遍重视。而泛函微分方程的渐近性与周期解又是泛函微分方程中两个大的研究领域。近年来,国内外许多学者对线性的,非线性的,中立型的,时滞泛函微分方程的渐近性与周期解都做了深入的研究,见文[26,27]。该文研究了几类泛函微分方程的渐近性与周期解。 本文可分为三部分,第一部分主要讨论了一类泛函微分方程 (?)(t)=a(t)g(x(t))+b(t)f(x_t),t≥0的解的渐近表现。其中a(t),b(t):R~+→R~+,f:C→R,g:R→R。我们分别建立了非振动解和振动解趋于零的充分条件。 目前,对带单个时滞微分方程的周期解,很多学者进行了研究,而对含多项混合时滞微分方程周期解的研究却很少,在第二部分中,我们主要讨论了一类含多项混合时滞微分方程 (?)(t)=-a(t)g(y(t))y(t)+λ(?)h_i(t)f_i(y(t-τ_i(t)))(?)g_i(y(t+s))ds。(2.1)的正周期解。其中a(t),τ_i(y),h_i(t),σ_i(t)(i=1,2…,n)是正的连续的T-周期函数,g(u),f_i(u),g_i(u):C(R~+,R~+),且0l≤g(u)≤L。λ0是参数,并给出了一个典型例子,当a(t)=δ,g_i(y)=1,g_i(y)=1,h_i(t)σ_i(t)=p_i,τ_i(t)=τ_i,f_i(y)=ye~(-a_iy)。方程(2.1)就简化为 (?)(y)=-δN(t)+λ(?)p_iN(t-τ_i)e~(-a_iN(t-τ_i))。(2.14)我们对(2.14)的周期解也进行了讨论。 第三部分,研究了一类带分布时滞的非线性中立型微分方程 x′(t)=(?)f(t,x(t+s),x′)(t+s))ds+h(t),(3.1)的周期解,其中f(t,x,y)∈C(R×R~2,R),f(t+T,x,y)=f(t,x,y);τ(t)∈C(R,R~+),τ(t+T)=τ(t);h(t)∈C(R,R),h(t+T)=h(t);T是正常数,且τ(t)T。当 f(t,x,y)=arctancos~2t/(3π)x+cos~2t/(3π)siny,τ(t)=-|cost|,h(t)=(π~2-cos~2t)/(2π)|cost|。


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