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几类集值算子的探讨

王名燕  
【摘要】:本文主要讨论了算子的不动点的存在性问题,一是关于集值算子的,二是关于线性空间中的单值算子的。 集值分析是20世纪40年代以后蓬勃发展起来的一个现代数学分支,它已成为非线性分析的重要组成部分。而算子的不动点定理是非线性分析的基础,所以研究集值算子的不动点定理及其应用有着重要的意义。 第一章讨论了半序集和半序拓扑空间中的集值算子,主要使用了半序方法和单调迭代技巧。在§1.1中,将集值算子的闭和上半连续的定义减弱为序闭和序上半连续,并分别给出了一个例子。在§1.2中,给出了半序集、半序拓扑空间和由锥定义了序的拓扑线性空间中的集值强增算子和混合单调算子的不动点定理,所得结果改进并推广了相关结果。主要定理如下: 定理1.2.3 设X为半序拓扑空间,M=[u_0,υ_0]是X中的序区间。A:M→2~M为序闭的强增算子,且M中的任一单调序列有极限,则A在M中必有最小与最大不动点。 第二章讨论了度量空间和局部凸空间中的集值算子,得到了相关的不动点定理。S.Nadler集值压缩映射不动点定理和Ky Fan不动点定理分别是单值的压缩映射原理和Brouwer不动点定理推广到集值的情形,本章对这两个集值映射不动点定理作了推广。在§2.1中,给出了一个新的集值压缩映射的定义,并举例说明这种集值压缩映射与S.Nadler通过Pompeiu-Hausdorff度量定义的集值压缩映射互不包含,并得到了在完备的度量空间中这种集值压缩映射必有不动点。此外,在序Banach空间中,我们把Krasnoselskii不动点定理推广到集值的一种情形:T为一种特殊的压缩映射(Tx=αx+b,-1α≤0,b∈X),S为集值映射。在§2.2中,给出了局部凸空间中的K映象在特定的边界条件下的不动点的存在性定理。主要定理如下: 定理2.1.2 设X是实Banach空间,P是X中的正则锥,K=[u_0,υ_0]是X中的序区间。T与S是K上的两个映射,它们满足下列条件: (ⅰ) (?)x,y∈K,有Tx+Sy(?)K; (ⅱ) T:K→X,Tx=αx+b,-1α≤0,b∈X; (ⅲ) S:K→2~X为紧值增算子。则映射T+S在K中至少有一个(集值)不动点。 第三章讨论了线性空间中凹凸算子的不动点的存在性问题。在实线性空间X中,用X的代数开集族Υ来定义拓扑,当X的维数大于


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