若干非线性算子的理论及其应用研究

【摘要】：本文的工作主要有两个方面,一方面讨论了两类非线性算子方程:一类为Banach空间中的非线性混合单调算子方程;另一类为有序的局部凸拓扑线性空间中集值(或多值)映象方程,所使用的方法主要为半序方法及单调迭代技巧等,另一方面是利用非线性算子理论讨论了微分方程解的存在性问题。 全文共分为三章。 在第一章中,我们对几类非线性算子(u_0-凹算子,混合单调算子,集值算子等)的研究现状进行了阐述,同时简明地介绍了我们在本文中将要做的主要工作。 第二章,我们给出了几类非线性算子的不动点定理。 在§2.1和§2.2中,我们给出了t-α(t)型凹凸及t-α(t,u,v)型凹凸的混合单调算子具有唯一不动点的新的存在性定理(参见定理2.1.1和定理2.2.1),本质性地改进了最近许多相关文献原有的条件和结论。在u_0-凹增算子的情形,与这些存在性定理相类似的结论实际上也是成立的,作为所得理论结果的一个应用,讨论了一类非线性积分方程解的存在性。 在§2.3中,我们引入了一类ω-凹凸型混合单调算子,给出了它存在唯一不动点的充分必要条件(参见定理2.3.1等),在§2.4中,讨论了混合单调算子和的不动点的存在性(参见定理2.4.3),所得结果改进并推广了相关文献中的部分结果。 在§2.5中,我们利用§2.1§2.2所得的理论结果并结合算子半群的性质,讨论了Banach空间非线性发展方程解的存在性(参见定理2.5.2和定理2.5.3),所得结果改进了相关文献中的工作。 在§2.6中,我们首先在局部凸拓扑线性空间中引入序,给出了集值(多值)凝聚映射的几个不动点定理(参见定理2.6.3和定理2.6.8等),推广了相关文献在Banach空间中所做的一些工作,然后利用所得结果,讨论了优化理论中的一个带约束条件的极小化问题: x∈G(x),ω(x,x)=(?)ω(x,y) 其中ω为二元连续实函数,G为集值映象,给出了它存在正解的充分条件(参见定理2.6.9)。