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一类Dirichlet边界波动方程的精确能控性

郭利军  
【摘要】:讨论一类Dirichlet边界波动方程 (?)的精确能控性,这里Ω是R~n中的有界区域。”/”表示对时间变量t求导数。”△”表示拉普拉斯算子。q∈L~∞(Ω)且g≥O。v是控制函数,v∈L_(loc)~2(R;L~2(Γ_1))。 1994年,V.Komornik在文[3]中证明了该系统当尬M_1≤1,T2L/(1-M_1)时,是精确能控的,其中 (?)λ_1是使integral from n=Ω|▽u|~2+q|u|~2dx≥λ_1integral from n=Ω|u|~2dx成立的最大的常数。 本文利用HUM(希尔伯特空间唯一性方法),黎曼流形[4]等知识,恒等替换等技巧得出当Mλ~(1/2)/L,T2Lλ~(1/2)+n-1/λ~(1/2)-ML时,系统(1)是精确能控性的,其中λ是”-△”算子对应的最小非零特征值。文[3]通过(16)式加上n-1倍的(17)式得到等式(18), integral from n=S to Tintegral from n=Γ((?)_vy)(2H(u)+(n-1)u)u+〈H,v〉((u')~2-|▽u|~2)dΓdt=[integral from n=Ωu'(2H(u)+(n-1)u)u dx]_S~T+2|I|E+integral from n=S to Tintegral from n=Ω+(n-2)qu~2+2quH(u)dxdt,而本文是利用等式(2.9)在(2.8)式中作替换得到与文[3]中(18)式类似的等式(2.10), integral from n=O to Tintegral from n=Γ(H(u)(?)u/(?)u-1/2|▽u|~2〈H,v〉)drdt=[(u'H(u))|_O~T+n-1/2(u',u)]|_O~T+1/2integral from n=O to Tintegral from n=Ω(u')~2+|▽u|~2dxdt+1/2integral from n=O to integral from n=Ω|▽u|~2dxdt+integral from n=O to Tintegral from n=Ωn/2qu~2+qH(u)udxdt不仅避免了n的分情况讨论,同时极大地简化了证明过程。 2002年,孙波在文[12]中证明了一类阻尼波动方程在控制时间T足够长,阻尼系数k足够小时,系统 (?)


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