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若干非线性算子的性质及应用

连秀国  
【摘要】: 本文主要研究几类非线性算子的性质及应用。 全文共分为四章。 在第一章中,我们主要研究具有形式G=A+B的非线性算子,其中B为常算子、线性算子或者α-凹算子(0<α<1)。某些问题,如三点边值问题,奇异边值问题和脉冲问题通常可转化为此类算子。对这类算子进行深入的研究将有助于对上述问题的讨论。我们引入了局部u_0-凹算子的概念。局部u_0-凹算子是包含u_0-凹算子在内的范围更为广泛的一类算子。我们证明了当A满足某些特定条件时,C是局部u_0-凹算子,并且得到了若干关于此类算子的不动点存在唯一性定理,这些定理不要求算子同时有上下解,也不要求算子具有连续性和紧性。主要结果如下: 设E为实Banach空间,P为E中的正规锥,h>θ,f∈P_h且M>0,其中θ为E中的零元素。假设A:P→P是α-齐次算子(α>1)。算子C由Cu=Au+Mf,u∈P给定。如果存在v_0∈P_h使得 (ⅰ)Cv_0≤v_0; (ⅱ)Av_0≤mf,其中m∈(0,M/(α-1));那么 (ⅰ)C在[θ,v_0]中有唯一的不动点x~*,并有x~*∈P_h,而且存在v′_0∈P_h,v′_0>v_0使得C在[θ,v′_0]\[θ,v_0]中没有不动点; (ⅱ)对任意的x_0∈[θ,v_0],记x_(n+1)=Cx_n,n=0,1,2,…,则有(?)x_n=x~*。而且,存在(?),γ∈(0,1)使得‖x_n-x~*‖≤2N(1-(?)~(γ~n))‖v_0‖,n=1,2,…,其中N是P的正规常数。 然后,我们利用这些定理来讨论三点边值问题与得到了这两类三点边值问题解的存在唯一性结果。需要指出的是,对非线性三点边值问题,存在性理论通常不能给出其解的唯一性。最后,我们利用所得定理讨论了包含x(t)=integral from 0 to t k(t,s)x~α(s)ds+f(t),α>1。在内的非线性Volterra积分方程。由于参数α>1,人们对此方程解的情况知之甚少,我们则给出了此方程解的存在唯一性定理。主要结果如下: 设E=C[0,1],P={x|x∈E,x(t)≥0,t∈[0,1]},k(t,s)在D={(t,s)|0≤s≤t≤1}上非负连续且不恒为零,h(t)=integral from 0 to t k(t,s)ds,t∈[0,1]。g∈C([0,+∞),[0,+∞))是增函数并且对任意的u>0及l∈(0,1),有g(lu)≥l~αg(u)(α>1)。f∈P_h。如果存在v_0∈P_h满足 (ⅰ)v_0(t)≥(α/(α-1))f(t),t∈[0,1]; (ⅱ)存在ε>0使得integral from 0 to t k(t,s)g(v_0(s))ds≤(1/(α-1)-ε)f(t),t∈[0,1],那么上述方程有唯一解x~*满足0≤x~*(t)≤v_0(t),t∈[0,1],并有x~*∈P_h。还存在(?)_0∈P_h,(?)_0>v_0使得上述方程在[θ,(?)_0]\[θ,v_0]中没有解。对任意的x_0∈C[0,1],0≤x_0(t)≤v_0(t),t∈[0,1],作迭代序列x_(n+1)=integral from 0 to t k(t,s)g(x_n(s))ds+f(t),t∈[0,1],n=0,1,2,…,那么函数序列{x_n(t)}在[0,1]上一致收敛于x~*(t),并且存在(?),γ∈(0,1)使得|x_n(t)-x~*(t)|≤(1-(?)~(γ~n))(?){v_0(t)),t∈[0,1],n=1,2,…。 在第二章中,我们主要研究混合单调算子。混合单调算子的概念是由郭大钧和V.Lakshmikantham于1987年引入的,其对非线性泛函分析、变分方法、非线性微分方程和积分方程的研究有重大的意义,并已广泛地应用于工程技术、核物理和生物化学技术等许多领域中,如传染病模型。在应用中,人们通常需要研究有关混合单调算子的不动点的存在唯一性问题。我们研究了满足条件或的混合单调算子,得到了几个其不动点存在唯一性定理。在这些定理中,我们没有假设算子有上下解,也没有假设算子具有连续性和紧性。我们得到的结果涵盖了到目前为止不少相关结论。主要结果如下: 设E是实Banach空间,P为E中正规锥,h>θ。假设定义在(a,b)上的正值连续函数f(t),g(t)和实值函数w(t)满足 (ⅰ)(?){f(t)}=1=(?){g(t)}; (ⅱ)(?)f(t)=(?)1/g(t)=0或(?)f(t)=(?)1/g(t)=0; (ⅲ)对任意的t_1,t_2∈(a,b),有(f(t_1)-f(t_2))(g(t_1)-g(t_2))≤0; (ⅳ)对任意的t∈(a,b),有w(t)>f(t)和w(t)g(t)>1,其中a,b是实数且a<b。假定A:P_h×P_h→P_h为一混合单调算子并且满足对任意的t∈(a,b)及u,v∈P_h,有那么A在P_h中有唯一不动点x~*,而且,对任意的x_0,y_0∈P_h,作迭代序列则有(?)x_n=(?)y_n=x~*。此外,若((?),(?))∈P_h×P_h是A的任一耦合不动点,则(?)=(?)=x~*。最后,我们利用这些结果讨论了积分方程x(t)=integral from G k(t,s){[F(x(s))]~α+[G(x(s))~(-β)}ds解的存在唯一性。 在第三章中,我们讨论某些非线性算子的正特征值问题。特征值是非线性泛函分析中极为重要的概念,其存在性是非线性泛函分析的基本问题。我们利用Banach压缩映象原理,借助于泛函,得到了关于锥上Lipschitz映射的正特征值和正特征向量的存在性的一系列结果,还利用凝聚映象的不动点定理,得到了一些关于k-α-压缩映象的正特征值的结果,这些结果改进了近期有关参考文献的结论。主要结果如下: 设(E,‖·‖)为自反的实Banach空间,P为E中的锥,(?)=P\{θ},α,β>0为常数。假设映射G:E×E→R满足下列条件:(g1)G(λx,y)≤λ~αG(x,y),x,y∈E,λ>0;(g2)‖x‖~β≤G(x,x),x∈E,f:P→(?)为参数ρ>0的Lipschitz映射,ρI-f为强弱合闭映射。如果那么f在(?)中有属于特征值ρ的特征向量。 在第四章中,我们研究凸泛函。这是凸分析中一类非常重要的泛函。凸集分离定理是研究凸泛函的重要工具。我们首先给出了Hilbert空间中有界凸集的球分离性质。以此为基础,给出了有界凸闭包的两种表示形式和关于凸泛函的两个结果。


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