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关于具有凸性的非线性算子及其应用

张玫玉  
【摘要】: 本文的研究内容主要有两部分.第一部分:讨论了α(1)-凸算子,具有凹凸性的序压缩算子及φ凸-ψ凹混合单调算子等三类非线性算子.第二部分:用非线性算子理论,特别是用我们得到的结论讨论了一类泛函微分方程奇异边值问题和一类脉冲积分-微分方程初值问题的求解. 深入研究带有凸性的非线性算子无论在理论上还是在应用上都具有重要意义.比如,在工程问题中,核问题中及经济问题中往往涉及到带有凸性的非线性算子.但遗憾的是对这类算子的研究尚未能深入,因而对解决有关问题尚无有力工具. 脉冲微分方程理论兴起于上世纪六十年代末.脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的,其数学模型往往可归结为脉冲微分系统.脉冲微分系统能够更深刻,更精确地反映事物的变化规律.近年来,这类系统已重要应用于航天技术,信息科学,控制系统,通讯,生命科学,医学,经济等领域.但对它的理论及应用研究仍处于初级阶段.讨论这类问题有十分重要的意义. 本文的讨论主要采用了半序方法.与一般文献相比,本文的不同之处在于,不是对单值的像用半序,而是对集值的原像用半序. 本文主要的研究结果有: 在§2.1中,讨论了一类α(1)-凸算子;在较弱的条件下得到了α(1)-凸算子不动点的存在性和唯一性,具体结果见定理2.1.1,定理2.1.4,定理2.1.6,定理2.1.8,定理2.1.11,定理2.1.12,定理2.1.21等;并应用于一类偏微分方程的求解,见定理2.1.23. 在§2.2中,讨论了一类具有凹凸性的序压缩算子;得到了其不动点的存在唯一性条件,具体结果见定理2.2.15,定理2.2.16,定理2.2.18,定理2.2.21,定理2.2.24-2.2.27等;并应用于讨论一类减算子,见定理2.2.17,定理2.2.20. 在§2.3中,引入了本质上是讨论凸性问题的φ凸-ψ凹混合单调算子的概念,在较宽松的条件下获得了这类算子正不动点的存在性和唯一性条件,具体结果见定理2.3.2-2.3.20;并应用于一类积分方程的求解,见例2.3.21. 在§3.1中,讨论了Banach空间中泛函微分方程奇异边值问题其中y~t(s)=y(t+s),(?)s∈(-r,a].利用Avery和Henderson的一个不动点定理,得到了(1)至少有两个正解的充分条件,见定理3.1.4;又利用α(∈(0,1))0凹算子的不动点定理得到了(1)有唯一正解的条件,见定理3.1.6. 在§3.2中,讨论了如下Banach空间中一阶和二阶脉冲积分0微分方程初值问题(2)和(3):其中f∈C(J×P×P,P),I_k∈C(P,P)(k=1,2,…),x_0θ,△x|_(t=t_k)=x(t_k~+)-x(t_k),x(t_k~+)表示x(t)在t=t_k处的右极限;Tx(t)=∫_(t0)~tK(t,s)x(s)ds((?)t∈J),K∈C(D,R~+),D={(t,s)∈J×J|t≥s},(R~+=[0,+∞));其中f∈C(J×P×P×P,P),I_k,I_k∈C(P,P)(k=1,2,…,),x_0θ,x'_0≥θ,△x|_(t=t_k)=x(t_k~+)-x(t_k),△x'|_(t=t_k)=x'(t_k~+)-x'(t_k~-),x'(t_k~-)和x'(t_k~+)分别表示x'(t)在t=t_k处的左极限和右极限;Tx(t)=∫_(t0)~tK(t,s)x(s)ds((?)t∈J),K∈C(D,R~+),D={(t,s)∈J×J|t≥s},(R~+=[0,+∞));Sx(t)=∫_(t0)~(+∞)H(t,s)x(s)ds((?)t∈J),H∈C(J×J,R~+); 利用我们在文[58]中的结论,得到了(2)及(3)的正解的存在性和唯一性,并给出了求解的迭代式及解的误差估计式,见定理3.2.5,定理3.2.10,定理3.2.14,定理3.2.16,定理3.2.18,定理3.2.22,定理3.2.26,定理3.2.28,定理3.2.30.


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