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精确非线性布洛赫解及其应用

薛锐  
【摘要】:处于周期势阱中的物质波(玻色—爱因斯坦凝聚),因其所处外势易受到人为控制且与电子处于晶格中的动力学有很多共同之处,而在近些年来引起理论与实验物理学家的普遍兴趣。由于超冷原子之间存在非线性相互作用,在该系统中也呈现出许多前所未见的物理现象。然而由于非线性相互作用对精确求解所造成的困难,关于该系统的研究多是利用数值求解的方法。因而发展求解处于周期势阱中玻色爱因斯坦凝聚的精确解,将有助于人们对数值结果的进一步理解。这就是本文的研究目的。 本文将Kronig-Penny模型推广到非线性情况,研究处于一维周期量子阱中的非线性薛定谔方程定态解,并在此基础上研究与布洛赫理论相关的物理问题。具体地讲有以下几个方面: 首先,我们首先找到一组可以正确描述处于Kronig-Penny势中非线性薛定谔方程(或Gross-Pitaevskii方程)的精确解。由于该精确解可以在非线性参数为零时,退化到线性薛定谔方程的解而使我们可以方便地研究非线性对线性布洛赫理论的影响。利用该精确解,我们详细研究了Bloch能带、压缩率、有效质量以及声速与势阱深度和相互作用强度的变化关系。结果显示:随着非线性参数的增加,Bloch能带宽度增加,而随着势阱深度的增加,Bloch能带宽度变窄。当势阱足够深时,Bloch波函数局域到势阱中,此时可以用紧束缚模型来描述。非线性参数很小时,压缩率的倒数κ~(-1)与其呈线性关系;当非线性参数比较大时,κ~(-1)的增加与其有非线性依赖关系。有效质量随势阱深度的增加而显著增大,同时随着原子间相互作用的增大,有效质量逐渐减小。由于压缩率和有效质量之间的竞争关系使得当势阱深度增大时,声速减小。 其次,利用Wannier函数与Bloch函数之间的关系,我们得到了一维周期量子阱中的非线性Wannier函数。在此基础上,研究了非线性Wannier函数的性质以及Bose-Hubbard模型中的格点相互作用项U和近邻隧穿项J。发现非线性相互作用的增加使得Wannier的指数衰减性变差,同时使相邻格点间的隧穿耦合强度增加。另一方面,格点间原子相互作用U与非线性相互作用gn的比值随gn的增加而单调递减。当势阱深度大于23E_R时,U/J大于相变临界点,此时系统处于绝缘态。 接下来,我们对该系统的稳定性进行了分析。在紧束缚极限下,可以得到Landau不稳定性和动力学不稳定性的解析表达式以及其在第一布里渊区内的稳定性相图。从相图中可以看到随着势阱深度和非线性参数的增加,Landau不稳定性的区域是逐渐减小的。动力学不稳定在Landau不稳定区域中占的越来越多。对于任何势阱深度和非线性参数,动力学不稳定性区域的左边界一直在k=π/2处。 最后,我们还对一维周期量子阱中玻色—爱因斯坦凝聚的集体激发进行了研究。我们得到了紧束缚极限下的元激发谱以及动力学结构因子中激发强度的解析表达式,发现这两个解析解是依赖于有效质量和压缩率的。我们将激发谱的最低能带和最低Bloch能带做比较,可以得出相互作用对元激发谱的影响要比对Bloch能带的影响大。当动量比较小时,最低能带中的激发满足线性色散关系。最低能带的激发强度与动量转移(transfering momentum)呈现某种周期关系,并且在偶数倍的Bragg动量处为零。


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