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2m阶常微分方程Dirichlet边值问题的解

张花  
【摘要】: 微分方程Dirichlet边值问题是微分方程边值问题中比较典型的一类问题.对此问题,很多文献用拓扑度理论和不动点指数理论(参见文献[16]-[23]),或用Morse理论(参见文献[24]-[31]),或用临界点理论(参见文献[3],[5],[6],[7],[9]-[15])为工具已经获得许多有关解的存在性及多解性的结果.对本文有所启发值得指出的是文[3],[5],[6],[8],[9]. 文[5]将文[3]所建立的新的临界点理论运用到四阶常微分方程Dirichlet边值问题中,得到了方程存在四个解,六个解的结果;受文[5]的启发,本文第一章进一步研究如下4m阶常微分方程Dirichlet边值问题:其中运用文[6]将各类微分边值问题转化为算子方程的方法,得到了如下主要结果: (H1)若问题(1.1.1)存在一对严格上下解αβ,且α,β都满足问题(1.1.1)中的边值条件; (H2) f(t,u)关于u严格递增; (H3) f(t,u)关于u Lipschitz连续; (H4)存在μ2,M0,使得这里则问题(1.1.1)至少存在四个解. (H5)α1β1,α2β2分别是问题(1.1.1)的两对严格上下解,且都满足问题(1.1.1)的边值条件,则问题(1.1.1)至少存在六个解. 文[8,定理3.20,4.2,p.65-73]运用极小极大原理研究一类二阶椭圆型方程得到了基态解,无穷多解的存在性结果;本文第二章和第三章中运用文[8]的方法研究如下2m阶常微分方程Dirichlet边值问题:其中分别得到了如下结果:(H6)存在C00,使得(H7)f(t,u)=o(u),u→0,对t∈[0,1]一致成立;(H8)存在α2,使得(H9)存在R0,使得(H10)任给关于u严格递增, 则问题(2.1.1)在C2m[0,1]中有一基态解.定理2.3.4和定理3.3.2是关于2m阶常微分方程Dirichlet边值问题解的存在性的新的 结果,是本文的创新之处.


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