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辛龙格库塔傅立叶谱方法及其应用

柴卫平  
【摘要】: 非线性薛定谔方程由于在物理学的多个领域,如:水波、等离子体物理、非线性传输、凝聚态物理,有广泛的应用而受到人们密切关注。 本文主要研究了玻色-爱因斯坦凝聚态中的非线性薛定谔方程,因为它是进行玻色-爱因斯坦凝聚的实验基础。由于非线性薛定谔方程的精确求解一般比较困难,涌现出了很多的算法来研究它。本文主要应用辛Runge-Kutta Fourier谱方法数值求解了玻色-爱因斯坦凝聚态中的非线性薛定谔方程,并进行了详细的物理解释。同时,与其它算法的计算结果进行了比较,发现该算法有优于其它算法的优越性。 本文主要内容有以下几个部分构成: (1)我们首先介绍了物理学中众多的的非线性问题和非线性方程的几个典型例子,其次介绍了非线性光学中的非线性方程,最后着重介绍了玻色-爱因斯坦凝聚的形成,发展和最新科研进展及它所满足的非线性Schrodinger方程的特殊形式—Gross-Pitaevskii方程。 (2)我们详细介绍了2级4阶隐式辛Runge-Kutta Fourier谱方法,并把它应用到变系数非线性Schrodinger方程中。辛Runge-Kutta Fourier谱方法的实现:在空间方向用快速Fourier变换方法来离散二阶导数项,在时间方向用2级4阶隐式辛Runge-Kutta方法来离散一阶导数项,并且数值求解了三个变系数的非线性Schrodinger方程,计算了物理系统中的模方、模方误差、能量、能量误差,并将两种算法进行了比较,数值结果显示该算法行之有效,它可以保持系统波函数的模方守恒和能量守恒。其次,介绍了求解非线性Schrodinger方程常用的一些其它的数值方法;并且把辛Runge-Kutta Fourier谱方法和差分方法+四阶Runge-Kutta法在具体的两个例子中进行了比较。 (3)我们研究了准一维玻色-爱因斯坦凝聚中存在局域正负不纯和束缚势阱的强弱对比不同的情况下,孤子随时间的演化情况,并给出了相应的物理解释。


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