四阶微分方程的周期解和基态

【摘要】： 本文包括三章：第一章为引言,第二章运用临界点理论研究了四阶Hamilton系统T-周期解的存在性和多解性,第三章考虑了一类四阶周期边值问题基态解的存在性,其中对非线性项限制Ambrosetti-Rabinowitz增长性条件,运用极大极小原理来刻画基态. 下面我们对本文的主要结论阐述如下： 对于四阶Hamilton系统其中A(t),B(t)是N×N对称阵,A(·)连续,B(·)连续可微,均以T为周期,且(B(t)x,x)≥是t的T-周期函数,T0,F(t,0)=0,t∈R,且满足条件 (A)对任意x∈RN,F(·,x)是可测函数,对几乎处处的t∈[0,T],F(t,·)是连续可微函数,且存在使得 定理2.1设F满足(A)和下列假设： (F1)对几乎处处的t∈[0,T]一致成立； (F2)对几乎处处的t∈[0,T]一致成立； (F3)存在λ2,d10,使得对几乎处处的t∈[0,T]一致成立； (F4)存在βλ-1,d20,使得对几乎处处的t∈[0,T]一致成立； 若0是带有周期边值条件的特征值,那么问题(2.1)至少有一个非平凡的T-周期解. 定理2.2设对几乎处处的t∈[0,T],F(t,·)是偶函数,即并且满足定理2.1的所有条件,那么问题(2.1)有无穷多个T-周期解. 对于四阶周期边值问题： 其中f：[0,T]×R→R连续.首先,对f做如下假设： (f1)存在C00,使得|f(t,x)|≤C0(|x|+|x|p-1),(t,x)∈[0,T]×R,其中p2； (f2)f(t,x)=o(x),x→0,对t∈[0,T]一致成立； (f3)存在α2,使得αF(t,x)≤xf(t,x),(t,x)∈[0,T] (f4)存在R0,使得.. (f5)任给t∈[0,T],f(t,x)/|x|关于x严格递增.得到下面的定理： 定理3.1若(f1)-(f5)满足,则问题(3.1)在C4[0,T]中有一基态.