一类求解信赖域子问题的欧拉算法

【摘要】：信赖域算法是求解无约束优化问题的一类重要的数值计算方法，该算法不仅思想新颖，算法可靠，而且具有很强的收敛性。所以，近二十多年来受到了非线性最优化研究界的高度重视，成为了与传统的线搜索方法并列的两类主要算法之一。在信赖域算法中，信赖域子问题的求解是实现算法的关键，信赖域子问题的求解会直接影响到算法的稳定性及收敛性。迄今为止，经过国内外许多数学工作者的努力，已经提出了如下几类主要的信赖域子问题，即：二次函数模型信赖域子问题、锥模型信赖域子问题、新锥模型信赖域子问题、张量模型信赖域子问题等。其中二次函数模型信赖域子问题是最基础和最重要的一类信赖域子问题。 目前关于求解二次函数模型信赖域子问题的方法主要有精确求解方法、折线法及共轭梯度法等。由于折线法不仅简单有效，而且成本也低，因此折线法成为了求解二次函数模型信赖域子问题最常用的一类方法，受到了越来越多学者的关注。本文则在求解二次函数模型信赖域子问题折线法的基础上做了进一步的研究。首先根据求解二次函数模型信赖域子问题的精确求解方法的思想，得出了最优曲线的参数方程，然后利用最优曲线的参数方程建立了一种最优曲线的微分方程模型，针对此微分方程模型，分别利用求解微分方程的欧拉公式、隐式欧拉公式和梯形公式构造了三条不同的欧拉切线，并提出了相应的三种求解二次函数模型信赖域子问题的欧拉算法。并且分别证明了三种欧拉算法中所构造的折线路径的性质，分析了三种欧拉算法的适定性，数值结果也表明三种算法是有效且可行的。 论文的研究内容具体包括以下几个部分： 第一章：绪论，主要介绍了信赖域算法和信赖域子问题，以及相关的研究现状和研究热点，最后介绍了本文的主要工作。 第二章：在Hessian矩阵正定的前提下，根据求解二次函数模型信赖域子问题的精确求解方法的思想，得出了最优曲线的参数方程，进而根据该参数方程，建立了最优曲线的一种微分方程模型。 第三章：针对第二章所提出的最优曲线的微分方程模型，利用求解微分方程的欧拉公式构造了一条欧拉切线。从而利用欧拉切线代替最优曲线，提出了一种求解二次函数模型信赖域子问题的欧拉切线算法。证明了欧拉切线路径的性质，分析了欧拉切线算法的适定性，数值实验结果也证明了欧拉切线算法是有效且可行的。 第四章：针对第二章所提出的最优曲线的微分方程模型，利用求解微分方程的隐式欧拉公式构造了一条隐式欧拉切线。从而用隐式欧拉切线代替最优曲线，提出了一种求解二次函数模型信赖域子问题的隐式欧拉切线算法。证明了隐式欧拉切线路径的性质，分析了隐式欧拉切线算法的适定性，数值实验结果也表明了隐式欧拉切线算法是有效且可行的。 第五章：针对第二章所提出的最优曲线的微分方程模型，利用求解微分方程的梯形公式构造了一条折线，称为平均欧拉切线，几何上可以看出该折线是在欧拉切线和隐式欧拉切线之间。从而利用平均欧拉切线代替最优曲线，提出了一种求解二次函数模型信赖域子问题的平均欧拉切线算法。证明了平均欧拉切线路径的性质，分析了平均欧拉切线算法的适定性，数值结果表明平均欧拉切线算法是有效且可行的，而且平均欧拉切线比欧拉切线和隐式欧拉切线更近似最优曲线。