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传染病时空传播动力学建模及非线性斑图特征研究

郭尊光  
【摘要】:人类历史上的历次大瘟疫都造成了空间大范围的爆发,诸如黑死病、天花、麻疹、埃博拉、猪瘟、禽流感、SARS、新型冠状肺炎等。由于医疗资源的限制、经济发展水平、防治措施的不及时等各种原因都会导致染病个体在空间上的大范围移动,这种大范围移动称为“非局部移动”,研究非局部移动是如何影响传染病的传播及传染病空间结构已成为当今热门课题。在传染病传播过程中染病者的非局部移动可以借助非局部时滞反应扩散方程准确刻画。目前基于非局部时滞反应扩散方程的传染病模型研究主要集中在行波解、整体解、波前解、波串解、最小波速等方面,其斑图动力学研究尚处于起步阶段。非线性系统中均匀稳态局部失稳而引发斑图形成,传染病斑图是非线性系统的时空演化行为,相变会引发空间对称性破缺或时间对称性破缺等非线性特征,非线性分析方法是研究斑图非线性特征的重要工具。由于传染病斑图动力学可以表征传染病在不同时空分布中对应的具体特征,也可以刻画传染病爆发和灭绝。因此,研究具有非局部时滞的传染病模型的斑图动力学兼具理论与应用价值。本文理论上构建了两类具有非局部时滞的反应扩散方程传染病模型和一类同时具有非局部时滞与趋化效应的传染病模型,并详细研究了非局部作用和趋化效应对传染病斑图的影响;应用上使用反应扩散方程研究了新冠肺炎在武汉市传播的早期动力学特征。具体工作如下:(1)基于染病者非局部移动会导致染病者之间产生医疗资源竞争效应,建立了一类具有非局部发生率(?)的非局部时滞反应扩散方程SIS传染病模型。使用线性化分析理论得到了地方病平衡点附近的近似系统,运用图灵理论得到了斑图产生的必要条件。数值模拟验证了图灵斑图分析的结论,同时表明时滞不仅抑制了传染病的传播,而且对空间稳态斑图有很大的影响:染病者的空间平均密度会随着时滞的增加而降低,条形斑图的宽度会随着时滞的增加而变宽;当时滞增加到一定值时,条形斑图变为混合斑图。(2)种群数量较大时传染率服从标准发生率,为此,建立了一类具有非局部发生率(?)和Logistic增长的非局部时滞反应扩散方程SI传染病模型。使用线性分析和图灵理论获得了由一系列不等式确定的图灵空间,通过非线性分析方法(多尺度分析)推导出了振幅方程,振幅方程的不同稳态解对应着不同结构的稳态斑图。通过调节时滞参数获得了丰富的斑图结构,数值模拟显示斑图的孤立度随时滞的增加而增大,染病者的空间平均密度随时滞的增加而降低,发现时滞阻止了疾病在空间中的传播。(3)考虑到易感者会主动远离染病者密度高的地方和染病者的非局部移动,建立了一类具有趋化效应(用(?)刻画)与非局部时滞的SIS传染病模型。对模型进行了线性化分析得到了具有交叉扩散形式的线性化系统,使用图灵不稳定理论,选择趋化系数作为控制参数,得到了图灵斑图的约束条件,找到了精确的图灵空间。数值模拟显示:趋化系数存在阈值χ~*,当χχ~*时,传染病最终会消亡,且传染病消亡的时间会随趋化系数的增加而缩短;当χχ~*时,传染病在空间上会呈现有规则的非均匀宏观结构,且染病者的空间密度随趋化系数的减小而增大,染病者在空间上的分布由稀疏变得密集。(4)基于新冠肺炎在武汉市早期的传播情况,建立了SEIR空间传染病模型。结合公开的数据提出了求解反应扩散方程参数的最小二乘法格式,并对传染率进行了参数估计,得到了模型参数的最优取值。数值模拟了染病者、潜伏者的时空传播,结果显示传染病会从单点暴发发展到多点染病,而且固定空间位置的染病者数量会随着扩散而增大。同时对扩散速率和传染率进行了敏感性分析,结果显示累计染病者数量会随着传染率和扩散速率的增大而增大,对传染率的敏感性大于对扩散速率的敏感性。依据研究结果提出了针对突发传染病有效的防控措施,早发现早隔离、居家隔离措施、增加社交距离和外出戴口罩都可以有效降低染病者数量。


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