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随机分数阶积分微分方程及具有弱奇异核随机分数阶积分微分方程的数值分析

李晓卫  
【摘要】:积分微分方程是现代数学的一项重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它广泛应用于几何、力学、生命科学等领域.随着分数阶微积分的发展以及实际生活中一些不可忽略的随机因素,随机分数阶积分微分方程出现在种群动态、信号处理等统计学领域.当前已有许多学者研究了该类方程解的适定性;并且由于实际工作中很难获得该类模型的精确解,因此求解该类方程的数值方法以及相关性质也在研究当中.而分数阶导数的弱奇异性和随机噪声的低正则性给具体的分析带来不可避免的困难,特别的,当积分核是奇异的,它更具有挑战性.鉴于此,本文就随机分数阶积分微分方程及具有弱奇异核的随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式进行了数值分析.第一部分,主要对非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛性进行针对性研究,证明了此类半隐式欧拉方法具有强一阶收敛性;此外,在精确解满足均方稳定性的前提下,我们研究了非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的均方稳定性,最后利用数值算例验证了数值解的收敛性.第二部分,首先,我们在局部Lipschitz条件下证明了该类半隐式欧拉方法的收敛性;进一步,我们在特殊的全局Lipschitz条件下更具体的得到了该方法的收敛阶,半隐式欧拉方法相比欧拉方法更加稳定;最后通过数值算例验证了数值解的收敛性.


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